現在２０１６年９月７日２３時０７分である。
「前回は、数学の話だけで、終わったわね。」
余計な文章があると、疲れるだけかな、と思ってね。
「確かに、余り長い投稿は、読むのが疲れるわね。」
ドラマの話や歌の話がメインでなく、数学や物理学の話がメインの時は、それだけに集中しようと思う。
「分かったわ。」
「それで、今回の話は？」
（ゼロ）を、作る。
「を、作るって？
は、元々あるんじゃないの？」
だって、我々は、を定義して、
と
で、
や
を、作ったじゃない。
「分かった。は、
と、定義するんでしょう。」
かなり、良い線行ってる。
それに近いことを、もっと厳密にやるんだ。
「これ以上に、厳密に？」
どういうことをするかというとね、だけじゃなく、負の数も含めて、整数全体を、定義しちゃおうと、思っているんだ。
ところで、麻友さんは、座標って、知ってる？
「座標って、関数のグラフを書く時の、目盛りよね。」
良かった。覚えてて。
「の点の
座標は
、
座標は
、で良いのよね？」
そう。その通り。
今から、平面の座標が、自然数の点に注目する。
「とか、
とか、
とか、
などね。」
良く分かっている。
じゃあ、麻友さんを特待生と見込んで、高級な質問。
問題
次の写真にあるように、傾きがの同じ直線上にある点どうしを結びます。このとき、同じ直線上にある点どうしには、どういう関係があるか、答えなさい。
ヒント
例えば、と、
は、同じ直線上にありますが、
と、
には、共通な何かがありますか？
「も
だし、
も
ね。前の数から後ろの数を引くと同じになるものが、同じ直線上に並んでるんじゃない？」
そう。そのキレ。
なぜそれを、思いつけたのか、自分でも分かってないけど、とにかく正解を思いついちゃう、特待生、麻友さんのキレがあってこそ、進軍できる。
「でも、どうして、傾きの直線上の点どうしは、引いたものが、同じになるのかしら？」
こういうことなんだよ。
今、点と、点
が、傾き
の同じ線の上にあるとしよう。
傾きが、ということは、
の場合、
から
まで
方向に増える量
で、
方向に増えた量
を割ったものが、
ということなんだ。
だから、
であり、よって分母をはらって、
となる。
の場合は、両方が順番逆になるだけで、
となる。
どちらにしても、最後に、
と、移項するのは、簡単だね。
これを、見れば、座標から、
座標を、引いたものが、同じになることが、証明できてる。
「それで、こんなことを調べて、何をしたかったの？」
麻友さんが、今まで想像したこともないことを、やって見せようと思ってるんだ。
「『最初に種明かしします』の精神に則って、きちんと説明すると？」
同値類による類別という、大学レヴェルの数学の話題を話そうと思う。
「難しいの？」
定義だけ聞くと、何言ってるか、さっぱり分からない。
でも、具体例を、いくつも知ってからなら、ほとんど当たり前のことに思える。
そして、非常に便利で強力な手段なんだ。
「必要なの？」
大学になるまで数学で出てこないということは、これなしでもかなり数学ができるということだ。
「じゃあ、やめましょうよ。」
さっきも言ったように、非常に便利で強力な手段なんだ。
これを使うだけで、モヤモヤしていた霧が晴れる。
「私に、分からせてくれるなら、聞きましょう。」
そうこなくっちゃ。
やりたいことは、整数を作ることなんだ。
「普通なら、という自然数に、
を付け加えて、後は、
っていうように、自然数にマイナスをつけたものを、加えれば、整数よね。」
「どうして、これじゃ駄目なの？」
麻友さん。私達にとって、例えば、『』って、どういうものだった？
「えっ、『』？・・・あっ、思い出した。『
』のことだったわね。」
「そうすると？」
この書き方で、『』を、書ける？
「だから、やっぱり、『』と、したら？」
そう。そのやり方を、貫くことも、できる。
例えば、『』。つまり、『
』とやれば良い。
間違えたやり方ではないから、矛盾は出てこない。
「だったらいいじゃない。」
でも、小さい数から大きい数を引くことを、定義する前から、それを使っている。
自分が、正しいことを証明するのが、難しい。
つまり、整数の定義がであることを、証明しにくい。
「ああ、この前の、ウェルなんとかね。」
ウェルデファインド。
「ここでも、それが出てくるの？」
大学の数学では、めったやたらと現れる。
「それに、私を、慣らそうというわけね。」
実は、そう。
「もう。いいわ。結論を言いなさいよ。どうやって、整数を作るの？」
こうやるんだ。
例えば、と、
は、どちらも、
座標から、
座標を引いた数が、
だったね。
だから、この直線上の点を、全部合わせて、この集合を、整数の世界での『』だと定義するんだ。
「ちょっちょっと、待ってよ。何がですって？」
この斜めの線上の座標が自然数の点、全部の集合。
「じゃあ、というような、無限個の要素からなる集合を、
だっていうの？」
そう。
「それだったら、なんかは、どうなるの？」
だから、
の乗っている直線上の点の集合は、整数の世界での
となる。
「それは、言ってることの意味は、分かるけどね。そんな集合を、や
にしちゃうのは、抵抗あるわね。」
そこで、抵抗があるのはね、計算を実際にやってみないからなんだよ。
「どう、計算するのよ。集合なのよ。」
集合だと思うから、気持ち悪いんだよ。
１つやってみよう。
の入っている集合は、さっきの約束で、整数の
のことだったね。
だから。
それから、
の入っている集合は、さっきの約束で、整数の
のことだったね。
だから。
「うん。うん。」
ここで、２つを足してみよう。
「どうやって？」
そのまま、足しちゃえば良いんだよ。
「えっ、こういうこと？」
うん。どうよ。
「あっ、そうか。だから、確かに、
の方と、一致してる。これって、まぐれ？」
「のわけないわよね。こうなるように、作ってあったのね。」
図星。足し算の定義が、になるように、うまーく仕組んであったんだよ。
「でも、太郎さんは、を作るって、言ってたじゃない。」
もう、分かるんじゃないかなあ。
「あっ、そうね。分かったわ。という集合を、整数での
と、定義するのね。」
さっすが、特待生。
「私は、ただの優等生じゃないの。特待生なの。だから、こんなことも、できるわ。」
「マイナスの整数は、例えば、は、
なんていう集合と、定義すれば良いんでしょ。」
お見事。
これで、整数が、定義できた。
数学の普通の本だと、ここで、自然数での足し算が、整数でも拡張された形で成り立つ、とか、マイナスの数が、ちゃんとであること、とか、かけ算は、とか、色んな事を書き並べておきながら、問いとして、『これらを、証明しなさい。』となっていることが、多い。
こういうことをされると、読んでいる方は、やる気がそがれるし、そんな問いを一回は解いても、役に立つかも知れないけど、同じような問題を、何問も解いても、身につくものはない。
だから、麻友さんには、以下のことを注意するだけで、整数構成は、終わりとする。
今、整数を、考える。
これは、定義により、
という集合だ。
そして、麻友さんが、見つけたように、
整数は、
である。
つまり、マイナスをつけると言うことは、座標と
座標を、交換するということだ。
ここから、麻友さん。重要なことに気付かない？
「マイナスのマイナスは、プラスってこと？」
そう。さすが、特待生。
「うーん。でも、マイナスかけるマイナスが、プラスになるっていうのは、微妙に違うような・・・」
さすが、鋭い。
これは、マイナスかけるマイナスが、プラスということの証明ではない。
そもそも、私達は、自然数のかけ算も、定義してないものね。
「そうよね。私達、自然数の引き算も、かけ算も、もちろん割り算も、定義してないわ。」
うん。ただ、そういうその他もろもろは、メインストリートを、オスカルの乗るような、馬車で、堂々と行く時には、路傍の花として、放っておいても困らないものなんだ。
麻友さんには、自分の数学を作ってね、と言った。
結局、細かいところをどこまで丁寧にやるかは、それぞれの人のキャパシティの問題なんだ。
「じゃあ、私が、もっと細かくやれるだけの容量があったら、丁寧にやれば良いし、容量がなかったら、大体こうだろう、で、すっ飛ばして良いということ？」
数学って、実は、そういうものなんだ。
「他の分野ならともかく、数学まで・・・」
これは、こういう風に前向きに捉えるといいんだ。
『私は、今、数学の、この部分が、知りたい。そのためには、他のことを、どこまで知っていれば良いか。その必要なものだけを、研究しよう。』
数学、全部を知る、というのは、そう簡単にはいかない。
だったら、一番、好きな数学、やりたい数学、を研究した方が、精神衛生上よろしい。
麻友さんと私は、物理学に応用する、数学をやりたい。
１から始める数学は、その基礎を据えた。
そして、ついに、を作るところまで、来た。
これで、お役御免である。
「今、思い出したんだけど、大学で出てくる概念を、１つ話してくれるって言ってたじゃない。」
ああ、同値類による類別ね。
傾きの直線上の点を、ひとつひとつ集合にしたでしょ。あのひとつひとつの集合に分けることを、同値類に分ける、って言うんだ。
「ただ、それだけ？」
今回は、具体的な場合だったから、分かっただろうけど、もっと複雑な場面になると、当たり前ではなくなる。
この１回の投稿の中にも、後に必要になる概念の、分かり易い具体例が、いっぱい含まれているんだ。
「私には、全然、分かり易くなかったけど。」
それは、申し訳ない。
「次回は、どんな話？」
ちょっと、考えさせて。
なるべく、面白い話題を見つける。
「じゃあ、おやすみ。」
おやすみ。
