数Ⅲ方式ガロアの理論と現代論理学（その１６） - 女の人のところへ来たドラえもん

　現在２０１９年１月７日１８時２４分である。

結弦「今年最初の連載だね」

若菜「相対性理論のブログでは、『結婚をシミュレート』、やってましたけど、確実に結婚できるんですか？」

「太郎さんのお父さまやお母さまが、私を受け入れてくれるかどうか、色々思案中なのよ」

若菜「お母さんのお父さまやお母さまは、認めて下さってるんですか？」

「それは、また別な問題ね」

　麻友さんのお父さまや、お母さまが、どう思っているのかは、まだ全然分かってないんだ。

　調べようがないからね。

「母は、このブログの存在を、知ってるの。だから、真面目に続けて」

　分かった。今日は、『現代論理学』の回だ。

　始めよう。

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　通常の文章では単文が接続詞により結合され，そこに複合文が形成されるが，それと同様に命題論理学も，命題(proposition)を考察するに際し，まず単文に相当する要素命題(elementary proposition)から出発する．そして，それを接続詞に当たる結合子(connectives)により結びつけることを考える．そこでまず，命題を構成するこれらの契機について，それを記号化することから始めよう．

　第一に，要素命題を ${p_1,p_2,p_3,\cdots }$ 等の記号で表わす．

　次に結合子であるが，さしあたりは次の５つのものを採用する．

　１）否定(negation)の結合子　これを記号 ${\sim}$ で表わす． ${\sim A}$ は内容的には「 ${A}$ でない」(not ${A}$ ) という言明に対応する．

　２）連言(conjunction)の結合子　これを記号 ${\wedge}$ で表わす。 ${A \wedge B}$ は「 ${A}$ かつ ${B}$ 」( ${A}$ and ${B}$ ) という言明に対応する．

　３）選言(disjunction)の結合子　これを記号 ${\vee}$ で表わす。 ${A \vee B}$ は「 ${A}$ あるいは ${B}$ 」( ${A}$ or ${B}$ ) という言明に対応する．

　４）含意(implication)の結合子　これを記号 ${\supset}$ で表わす。 ${A \supset B}$ は「 ${A}$ ならば ${B}$ 」( if ${A}$ ,then ${B}$ . ${A}$ implies ${B}$ ) という言明に対応する．

　５）同値(equivalence)の結合子　これを記号 ${\equiv}$ で表わす。 ${A \equiv B}$ は「 ${A}$ と ${B}$ とは同値である」ないしは「 ${A}$ のとき，かつ ${A}$ のときにかぎり ${B}$ 」( ${B}$ if and only if ${A}$ )という言明に対応する．

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　ちょっと大変だけど、肝心なところなので、一気に写した。

結弦「単文とか、複合文とか、日本語の文法ですか？」

　余り、その辺の文法にはこだわらなくていいよ。

　単文というのは、以前やった、『雪は黒い』や、『１＋２が４である』みたいな、文なんだ。

　一方、複合文というのは、『１＋２が４であるなら、雪は黒い』みたいに、単文がいくつか組み合わさった文だ。

「単文は、『たんぶん』、複合文は、『ふくごうぶん』で、いいのよね」

　もちろん。

若菜「数学の本では、命題というものが、頻出しますが、ここでは、『命題』という言葉の定義をしているのですか？

　命題という言葉は、それが使われる状況により、ちょっとずつ意味が変わる。でも、この本の第２章まで読み切れば、その全貌がつかめる。

若菜「第１章だけでは、駄目ですか？」

　第１章を読んだら、第２章も読みたくなる。

「要素命題を『 ${p_1,p_2,p_3,\cdots }$ 等の記号で表わす』とあるけど、この小さい１、２、３が付いた記号は、なんと読むの？」

　こういう小さい数字や記号を、添え字（そえじ）と言うんだ。数学や物理学をやっていると、記号が足りなくなる。だから、添え字を付けて、いくらでも記号を作れるようにするんだ。

　さっきの例は、

『ピーいち、ピーに、ピーさん、てん、てん、てん』

と読めば、通じる。

「太郎さんの、『ＮＫとＢＧの要点』のファイルによると、否定の記号は、『 ${\neg}$ 』を使ってたけど、この本では、『 ${\sim}$ 』となってるわ」

　そうなんだよねー。これ、数学全体で、統一されてないんだ。

${A \Rightarrow B}$ も、この本では、 ${A \supset B}$ に、なってるだろう。

「ああ、そうねえ」

　この本では、『 ${\equiv}$ 』という記号を、最初から導入してるけど、私は、 ${(A \Rightarrow B )\wedge (B \Rightarrow A)}$ を、 ${A \Longleftrightarrow B}$ と表し、これを同じ意味で、使ってる。

若菜「何がなんだか、分からなく、なりそうですね」

　３人を混乱させてもいけないので、今後私のゼミでは、私の『ＮＫとＢＧの要点』にある記号を使おう。

　そして、『ＮＫとＢＧの要点』の方に、記号対照表を、作ろう。

結弦「さっきの一文を、変換すると？」

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　次に結合子であるが，さしあたりは次の５つのものを採用する．

　１）否定(negation)の結合子　これを記号 ${\neg}$ で表わす． ${\neg A}$ は内容的には「 ${A}$ でない」(not ${A}$ ) という言明に対応する．

　２）連言(conjunction)の結合子　これを記号 ${\wedge}$ で表わす。 ${A \wedge B}$ は「 ${A}$ かつ ${B}$ 」( ${A}$ and ${B}$ ) という言明に対応する．

　３）選言(disjunction)の結合子　これを記号 ${\vee}$ で表わす。 ${A \vee B}$ は「 ${A}$ あるいは ${B}$ 」( ${A}$ or ${B}$ ) という言明に対応する．

　４）含意(implication)の結合子　これを記号 ${\Rightarrow}$ で表わす。 ${A \Rightarrow B}$ は「 ${A}$ ならば ${B}$ 」( if ${A}$ ,then ${B}$ . ${A}$ implies ${B}$ ) という言明に対応する．

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若菜「同値は、温存するのですね」

　あまり、記号を切り詰めると、困ることもあるんだ。同値の記号は、この本と同じものを採用する。

結弦「連言というの、辞書にないんだけど」

　連言（れんごん）じゃ、ないんだ。『れんげん』なんだ。

結弦「じゃあ、選言（せんげん）？」

　そうだよ。私も、今日まで知らなかった。

結弦「なんだ、お父さんもか」

「今日は、比較的進んだわね」

　これから、論理学の冒頭の部分を、どんどん進んで行く。数学ではないから、計算はないけど、１度認めたことは、よっぽどのことがない限り、その後も仮定されているということを、気にかけていて欲しい。

　じゃあ、解散。

「太郎さん。今年最初の連載も、始まったわね」

　７日までかかったのは、なかなか、勉強に気持ちが乗らなかったからだ。

　勉強は、してたんだけどね。

「よく眠れてる？」

　なかなか、眠れないことも、多い。

　それが、朝、起きられない原因にもなってる。

「ちゃんと、食べて、薬も飲んでね」

　ありがとう。

　それじゃ、おやすみ。

「おやすみ」

　現在２０１９年１月７日２１時５８分である。おしまい。