女の人のところへ来たドラえもん

21歳の女の人と43歳の男の人が意気投合し、社会の矛盾に科学的に挑戦していく過程です。                    ブログの先頭に戻るには、表題のロゴをクリックして下さい。

ウソをつかない数学(ベータ版)(その3)

 現在2020年5月19日21時16分である。

麻友「あらっ? 髪切った?」

私「女の人は、敏感だね」

若菜「お父さんが、鈍いんです」

私「もし、5月31日のハッチエデュの、キックオフイヴェントに参加することになったら、オンラインでも、多少は見られるかな? と思ってね」

結弦「明日、可否が、メールで、来るんだね」

若菜「前回の数列の問題は、ひねってありましたね」

私「前回は、小学校1年生レヴェルとしたが、今度は、高校レヴェルでも、やってみようか?」

結弦「面白そう」

私「あらかじめ、言っておくけど、この問題は、高校1年生のとき、以前話した数学の澤野先生が、授業中に出した問題で、私は、解けなかった。気楽な気持ちで、取り組んで欲しい」



 問題

{\sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{\cdots}}}}}}

は、いくつになるだろう?


麻友「無限に{2} が、続いているの?」

若菜「無限大に、ならないんですか?」

私「試行錯誤しても、簡単には解けないから、先生の示した模範解答を見せよう。

まず、求めたい数式を、方程式と同じように、{x} と置く。

{x= \sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{\cdots}}}}}}

そうすると、ちょっと考えると、

{x= \sqrt{2 x}}

となるよね」

結弦「えっ、そんなこと、しちゃっていいの? 無限大かも知れないのに」

私「{x} は、無限大かも知れないけど、この式は、一応成り立つよね。

{x= \sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{\cdots}}}}}}

というのは、入れ子の中と、同じなんだから」

若菜「ハッ、

{x= \sqrt{2 x}}

って、方程式ですよね。両辺自乗すると、

{x^2=2x}

これは、2次方程式です。

{x^2-2x=0}

因数分解して、

{x(x-2)=0}

答えが、

{x=0,2}

と、2つあります。これも、前回みたいに、両方とも答えですか?」

私「若菜、すごい。最後の {0}{2} だが、問題のルートの連続だが、少なくとも、{1} より小さくなるはずない。だって、

{\sqrt{1 \sqrt{1 \sqrt{1 \sqrt{1 \sqrt{\cdots}}}}}=1}

だからね」

若菜「そうすると、今回は、{x=2} で、

{2=\sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{\cdots}}}}}}

なんですね」

結弦「これが、分かったときの音楽は、何にしようか?」

私「音楽の選定は、もの凄く難しい。子供達に、世界にはこんな曲があるのか! と目を開かせる切っ掛けになるのは、大切なんだが、一度、ある喜びとある音楽を同時に経験すると、その曲を聴くたびに、喜びも思い出すことになりやすい。急いで問題を解きたいときなどには、邪魔になるかも知れない」


麻友「そういうたくさんの構想を、ハッチエデュで、やる気のある人たちと、意見交換したいのよね」

私「もしかしたら、ゲームでないものに、なるかもしれない。最初は、ゲームとして提案するけどね」

麻友「かなりレヴェルの高い話だったけど、やっぱり分かるって、嬉しいわね。今日はもう、22時25分。薬が効いてきたでしょう。終わりにしていいわ」

私「じゃあ、解散」

若菜・結弦「おやすみなさーい」

 現在2020年5月19日22時26分である。おしまい。