女の人のところへ来たドラえもん

21歳の女の人と43歳の男の人が意気投合し、社会の矛盾に科学的に挑戦していく過程です。                    ブログの先頭に戻るには、表題のロゴをクリックして下さい。

実数論の完全性

 現在2021年10月9日17時10分である。(この投稿は、ほぼ2364文字)

麻友「いつも、これくらい早く始めればいいのに」

私「本当は、そうだね」

若菜「今日の題は、インパクトありますが」

私「うん。証明されたのは、20世紀だが、現在でも知らない数学者も、いるだろう」

結弦「どういう、話なの?」

私「ゲーデル不完全性定理というものの話は、ちょこっと話してあったね」

麻友「意味は、分かってないわよ」

私「まず、あくまでも、自然数 {\mathbb{N}} に、足し算と掛け算の算法を与えた、体系について、ある命題があって、その命題が正しいことも証明できないし、その命題の否定を証明することもできない。そんな命題が、本当に存在する。これを、ゲーデルの第一不完全性定理という」

若菜「ああ、聞いた記憶があります」

私「私が、このステートメントを、最初に知ったのは、浪人中の通信添削を受けていた Z会 の付録でであった」

若菜「だとすると、来年高校3年生になって、レヴェルの高い大学を受けようと、Z会 に入ったら、出会うかも知れませんね」

私「大学に入学し、数学の危機に出会って、数学って大丈夫なのか? と、不安になり、この定理に思い至った。それ以来、私は、数学の基礎を、築き直す作業を、続けてきた」

結弦「そうだったね」

私「だが、比較的最近、麻友さんと出会った後、自然数 {\mathbb{N}} に、足し算と掛け算の算法を与えた、体系は、不完全だが、実数 {\mathbb{R}} に、足し算と掛け算の算法を与えた、体系は、肯定も否定も証明できないなどという命題はなく、そういう意味で、完全だということが証明されていることを、知った」

麻友「えっ、それ、もの凄いことなんじゃない?」

私「確かに凄い。この定理の証明を、もっと前に知ってたら、気が狂わなかったかも」

若菜「どの本で、知ったんですか?」

私「この本で、だ」


田中一之『数学基礎論講義』(日本評論社


結弦「何年の本ですか?」

私「1997年」

麻友「太郎さんには、間に合わなかったわね」

私「うん。論文にでも手を伸ばせば、知れたかも知れないが、当時それは、無理だった」

若菜「それを、知って、どうするのですか?」

私「この本に、大まかな証明が、出ているようなのだが、


田中一之『数学基礎論序説』(裳華房


ある意味、私、数学もっと進めて、良いのかな? って、安心したんだ」

麻友「太郎さん。太郎さんが、正常な思考ができるようになって、嬉しいわ」

若菜「数学を、進めるって?」

私「しばらく、論理学や、集合論から離れて、まず群論を、勉強したい。群論だけでも、こんなに読みたい本が、ある」

麻友「これ、全部、持ってる本?」

私「持ってる」

麻友「だったら、応援するわ。どんどん読みなさいよ。7冊って、言っても、同じ分野だから、2年くらいで、読めるかしら?」

私「それを、期待している」

結弦「群論を、勉強すると、どういうことが、分かるの?」

若菜「ガロア理論ですよね」

私「そう。ガロアは、方程式の根を、群を使って表して、成功した」

結弦「それだけ?」

私「いや、リー群を学ぶのは、ゲージ理論という物理学の理論で役立つ、ファイバーバンドルを、良く知りたいからだ。物理学にも、益がある」

麻友「ここで、発表したけど、本当は、独学した方が、スピード上がるんじゃない?」

私「実は、昨日始めて、38ページまで読んだ。知っていることは、どんどん飛ばしてる」

若菜「そのスピードで、『渡辺麻友アーカイブス』読んでたら、とっくに終わってるのに(笑)」


麻友「実数論の完全性って、誰が証明したのかしら?」

私「私が、最近まで知らなかったとすると、逆数学を、進めるうちに、分かったのかも知れない。そもそも、証明が出ているよう、と挙げた本は、


田中一之『逆数学と2階算術』(河合文化教育研究所)


と、同じ人の本で、田中一之という人は、逆数学のプロだ」

結弦「お父さん、パッパと、文献挙げるけど、それ全部持ってるの?」

私「証明が出ているよう、と言った本以外、全部持ってる。ウソだと思うなら、リンク集にある、『私の本棚』見てごらん」

結弦「すげー」


麻友「前は、相対論のブログが、だべる場だったじゃない。これからは、このブログで、楽しもうということかしら?」

私「今回の大変革の前に、最後に、このブログに書いてあった記事は、『フーリエの冒険(その5)』だったんだ」

結弦「これからも、『フーリエ』続けたら? 論理学への誘惑は、フーリエはしてこないだろうし。僕、レポーター頑張るよ」

私「新型コロナウイルス、収まっちゃって、『DNAの冒険』は、急がなくて良くなった。『フーリエ』『量子力学』『DNA』の順に、読んでいこうか」

結弦「うん、うん」

 現在2021年10月9日21時58分である。おしまい。