女の人のところへ来たドラえもん

２１歳の女の人と４３歳の男の人が意気投合し、社会の矛盾に科学的に挑戦していく過程です。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ブログの先頭に戻るには、表題のロゴをクリックして下さい。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　数式の変形。必ずひと言、添えてよ。それを守ってくれたら、今後も数学に付き合ってあげる。

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数学基礎概説のエラータ（その５）

　現在２０２１年１１月２６日１８時２３分である。（この投稿は、ほぼ４７１８文字）

麻友「１０日くらい、サボってたわね」

私「いくつか、成果が挙がっていたんだ」

麻友「例えば？」

私「１階の述語論理で、形式的な自然数論を扱う場合と、集合論を扱う場合には、どういう違いがあるのか？　ということについて、気付きがあったこと」

麻友「どう違うと、言うの？」

私「例えば、形式的な自然数論で、{2} という整数は、{0} を定めた上で、{+1} するのを、{’} というように、肩にダッシュを付けることとして、{0’’} と、表されるものとなる」

麻友「そんなの、表し方の問題じゃない。集合論でだって、そう表せば？」

私「いや、そんなに簡単なことじゃ、ないんだ。形式的な自然数論では、そうやって表された、例えば {2} つまり、{0’’} に、ひとつのゲーデル数という自然数を、対応させるんだ。やってみせると、

{\alpha (（)=3}
{\alpha (）)=5}
{\alpha (c_i)=9+8i}
{\alpha (f_i^n)=11+8 \times 2^n \times 3^i }

と、定める。特に、{i=1,n=1} の場合、

{\alpha (0)=\alpha (c_1)=9+8 \times 1=17}

{\alpha (’)=\alpha(f_1^1)=11+8 \times 2 \times 3 =59}

と、定めておく。そうすると、{2} は、{0’’} だったのだから、ゲーデル数は、次のように定めるものとなる。というか、そう定義するんだ。計算すると、

{\alpha (2)=\alpha (0’’)=\alpha ( f_1^1 ( f_1^1 (0)))}

{=2^{\alpha (f_1^1 )} \cdot 3^{\alpha (（)} \cdot 5^{\alpha (f_1^1 )} \cdot 7^{\alpha (（)} \cdot 11^{\alpha (0)} \cdot 13^{\alpha (）)} \cdot 17^{\alpha (）)} }

{=2^{59} \cdot 3^3 \cdot 5^{59} \cdot 7^3 \cdot 11^{17} \cdot 13^5 \cdot 17^5}

となる。これが、{2} という数字のゲーデル数」

麻友「ちゃんと、計算しないの？」

私「できない」

麻友「できないって？」

私「{2} の {59} 乗と、{5} の {59} 乗が、掛かっている。つまり、{10} の {59} 乗より、大きい。{59} 桁の数なんて、書きたくもない。１兆だって、{12} 桁なんだよ」

麻友「あっ、そうか。それで、ゲーデル数で、表したから、どうなの？」

私「形式的な自然数論では、{2} という数が、ひとつの表し方に、統一されていたから、ゲーデル数で、表すことが、できた。ところが、集合論では、２というものが、何通りにも、表せるんだよ」

麻友「ああ、太郎さんは、１を定めて、次に、１＋１を、２とした。さらに、どんどん自然数を定めた後、{\{(2,1),(3,2),(4,3),\cdots \}} を、整数の１だ、なんて言いだした。つまり、{\{(3,1),(4,2),(5,3),\cdots \}} という座標の集合が、２になるんだ。２と言っても、色々ある。そうすると、ゲーデル数の、どれを対応させれば良いのか、分からない。そうか、確かに、形式的な自然数論と、集合論は、違うわね」



私「そういう、気付きがあったんだ。それでは、エラータ始めるよ」


数学基礎概説

数学基礎概説 (共立数学講座)

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の、誤植と思われるもの。



７２ページ


６行目

◯　冠頭形のLKの閉論理式

✕　冠頭形のLKの論理式


９行目

◯　末尾の　　個体定数

✕　末尾の　　対象定数



１１行目

◯　個体定数がないときは１つの個体定数

✕　対象定数がないときは１つの対象定数



７３ページ


１０行目

◯　‘{\mathscr{P}} の推論の個数 d（{\mathscr{P}}）に関する帰納法’ で示す．

✕　‘{\mathscr{P}} の推論の個数 d（{\mathscr{P}}）に関する帰納法で示す．（閉じる、クォーテーションマークがない）


１３行目

◯　（２）ｄ（{\mathscr{P}}）＞０のとき

✕　（２）ｄ（{\mathscr{P}}）＞０とき


下から７行目

◯　（i）M（　　の、Mのフォントが、そこで使われているフォントと違う。


✕　（i）M（



７４ページ


２１行目

◯　冠頭形閉論理式

✕　冠頭形閉論式


２２行目

◯　～に対し，{\vdash \rightarrow \neg A \equiv}
　　　　　　{LK}

✕　～に対し，{\neg A \equiv}

（LKで、証明できる。というのを、TeXで、どう打つのか、分からない。申し訳ない）




７５ページ


１行目

◯　{\{t,f\}} 写像

✕　{\{t,f\}} 付値


２行目

◯　（ⅴ）

✕　（ⅳ）



４行目

◯　個体定数

✕　対象定数



１２行目

◯　{M_0} のMのフォントが、おかしい。１行上にある、ドイツ文字のような、フォントにすべき。

✕　{=f(\tau_1,\cdots ,\tau_r)(\in|M_0|)} と定義する



１３行目

◯　の個体定数記号

✕　の定数記号



２３行目

◯　右端　　{\sum_0}

✕　右端　　{\sum_{\mu}}

２３行目と２４行目が、入れ換わってしまっているようだ。

２４行目

◯　右端　{M_{0\mu}}

✕　右端　{M_{00}}

Mのフォントは、分からなかった。




７６ページ


２２行目

◯　ついて，‘{p > p'} または {p=p',q > q' }’ なるとき

✕　ついて，‘{p > p'} または ‘{p=p',q > q' }’ なるとき　（左シングルクォーテーションマークが、１つ多い）




７７ページ


２行目

◯　右端　　～の最下の sequent でｄ番

✕　右端　　～の最下の sequent のｄ番



１８行目

◯　{\exists_{X_2} \forall_{y_2}}

✕　{\exists_{X_2} ,\forall_{y_2}}　カンマは、いらない。



２１行目

◯　右端の式

✕　左端の式



２２行目

◯　{\mathbf{PR}}

✕　{\mathrm{PR}}




下から３行目

◯　図式は再び正しい

✕　図式に再び正しい




７８ページ


１行目

◯　推論が再び正しい

✕　推論は再び正しい




　７９ページから８１ページまで、誤植はない。よって、第３章は、クリアされた。



麻友「えっ、でも、この本、第９章まで、あるんでしょう」

私「そんなこと、分かっているよ。でも、私に取って、読んでいく上で、一番苦労したのが、第３章なんだよ。１回など、この章が分からなくて、この本から、挫折した」

麻友「分かってる。太郎さんは、安井邦夫『現代論理学』で、力をためて、再挑戦して、クリアした。でも、誤植があったから、クリアできなかったの？」

私「それは、微妙だな。第２章では、１階の述語論理の無矛盾性定理を証明するのに、３１ページ費やしている。それなのに、第３章では、１階の述語論理の完全性定理の証明に、１７ページしか割いていない。当然、説明が、不親切になる」

麻友「紙数が許さなかった、という現実的な、理由があったんじゃない？」

私「これからは、電子書籍の時代だ。いくらでも、丁寧で、親切な、電子書籍が、書ける」

麻友「いっそのこと、丁寧な動画で、説明したら？」

私「例えば、『広中の特異点解消定理』の証明を、動画で説明するとか？　恐ろし～い」

麻友「でも、太郎さんとしゃべってると、そういうことが、可能に思えてくる。だって、太郎さんは、２０１８年４月に、

27182818284590452.hatenablog.com

という投稿で、私と数学の教材を作りたい、と言ってきた。そんな発想が生まれたのは、太郎さんが放送大学で、実際、先生と聞き手の案内の女の人とのやり取りで、成り立っている授業を、いくつも観ていたからだったことが、後で分かった。でも、太郎さんにとっては、本当は、到底結婚できない私と、ほんのちょっとおしゃべりしたい、そのための口実として、動画を作ろうと言ってきたのだった。私は、相手にしなかったが、その後２０１９年くらいから、本当に数学の動画というものが、作られ始めた。それが、成功したのは、２０１８年暮れから新型コロナウイルスが蔓延し、インターネットの動画というものの需要が生まれてきたから、というのもあるだろう。いずれにせよ、太郎さんが、私に提案したものは、本当に実現した。動画で、しゃべっているのが、私と太郎さんでなかっただけ。太郎さんが言うと、実現するのよ。もちろん、太郎さんが望んでいた、トランプ政権の続投は、成らなかったし、この間（２０２１年１０月）の国政選挙では、太郎さんは、一党独裁は良くないと、立憲民主党に、２票入れたが、自民党が過半数取っている。そういうことでは、太郎さんは、信じられない。でも、未来に起こることで、余りお金をかけなくても、実現できることを、思い付くことでは、太郎さんは、本当に、ドラえもんだと思う」

私「『女の人のところへ来たドラえもん』のブログで、その言葉を聞けて、本当に嬉しいよ。来年になったら、お金がなくなるまで、４年となる。不平等でなく、自由な人生が、誰にでも送れる社会。睡眠時間１時間で、働いた麻友さんに取って、ずるいと思うかも知れないけど、いざ、そういう社会になったら、良い世の中になったなと、きっと思うよ」

麻友「この投稿は、『数学基礎概説のエラータ（その５）』というものだったのに、脱線し過ぎたわね。じゃあ、おやすみ」

私「おやすみ」

　現在２０２１年１１月２６日２３時４２分である。おしまい。