現在2022年9月16日7時01分である。(この投稿は、ほぼ6446文字)
麻友「昨日、早く寝たから、7時に書き始められる?」
私「そうだね」
若菜「五つ星って、初めてですね。ロボットでなかったことが、証明されましたね」
結弦「確かに、今、プログラムで、同じようなことを、できるからな」
麻友「読んでくれてるのだから、早速書きなさいよ」
私「結弦の、
と、若菜の
と、
は、どう違うのか? まず、結弦の は、有理数 だけを並べた、数列だから、丁寧に書くと、
ということだな」
結弦「あっ、そうか。有理数の、 なんだ。整数の気分だった」
私「数学者が、間違いを、犯さなかったら、新しい数学は、できない。という意味のことを、言ってた人がいた。結弦も、間違いを犯すことを、恐れるな」
若菜「そうか。 は、無理数だから、
の右辺は、ただ記号を書いているだけで、有理数を使って書けないのだから、何も、決めたことに、ならないのですね」
私「そう。だけど、このアイディアは、超有理数を定義し、それから、実数を作って、さらに、実数を使って、超実数を定義するとき、役に立つ」
若菜「あっ、実数に、 は、含まれているから、
は、超有理数ではなく超実数での、 の定義なんだ」
麻友「太郎さん。難しさ3.の説明って、やっぱり、手加減なしね」
私「麻友さんが、望んだことだ」
若菜「そうしますと、
は、どう解釈するんですか?」
私「いよいよ、真理のカメさんの、登場となる。だが、 を、最初にやるのは、難し過ぎる。もうちょっと、おだやかな話から、始める」
麻友「今まで、 を、除いて、数列の全部の・・・、1個1個って、なんて言うの?」
私「項だ。数列の項という」
麻友「じゃあ、全部の項が、同じものばかり、やってる。当たり前過ぎない?」
私「そこに、切り込む。
と、
は、どう考えても、左辺を定義しているな」
若菜「当然ですね」
私「そして、
は、数列同士の足し算を、普通に定義して、
として良さそうだな」
若菜「『良さそうだな』というのを、数学の言葉で言うと?」
私「well-defined だな。ということ」
麻友「あの、ウェルなんとか、大学へ行ったら、出て来まくるって、本当だった」
私「今、その証明はしない。混乱をまねくだけだから」
結弦「当然、掛け算も、
で、
というわけだね」
麻友「ちょっと待って、何が、定義されていることで、何が、新しく決まったことなのか、分からない」
私「特待生の特権、今でも、行使していいよ」
私「まず、超有理数の
と、
と、
は、定義されていること。そして、超有理数の掛け算
が、数列の方でも、
と、定義することにして、問題が起きないね。という話」
麻友「まだちょっと、分からない」
私「例が、易しすぎるんだ。ちょっと、変化球にしてみる」
若菜「まだ、真理のカメさんが、出てきていません」
私「そうだな。ところで、
というのは、どうだろう」
結弦「最初だけ違うの?」
若菜「1個でも、間違ったら、満点ではない?」
麻友「完璧主義の私なら、許さないわね」
私「真理とは、必ずしも満点の解答では、ない。真理のカメさんを、連れてこよう。 上の可算級善良超フィルター だ」
若菜「まず、このフォントから、教えて下さい」
私「 で、数式モードで、\mathscr{F} と打つと、出てくる。花文字と呼ばれるものだ」
結弦「使い方は?」
私「数列には、色々な書き方がある、という話をした。
を、
、、、、、
と、書いてもいい。 だったから、 とした、というのは、ちょっと数学の規則を破っているが、この場合、混乱はないと思う」
若菜「それで?」
私「これが、
と、同じかどうか、知りたい。例えば、 同士だったら、
で、同じところの番号は、 と、自然数の集合全部だ。真理のカメさんに、
『この集合を、持ってますか?』
と聞く。真理のカメさんは、自分の持っている集合と見比べて、
『持ってるよ』
と言う。真理のカメさんが、持ってると言ったら、正しいのだ。だって、真理のカメさんなんだもの」
麻友「その、判定の基準が、見えないわね」
私「じゃあ、もう一度、持ってこよう」
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私「ジャーン。真理のカメさんとは、次のような性質を持つ という集合なのです」
1. は、自然数全体の集合 上の可算級善良超フィルター
2.可算級善良超フィルターとは、この場合、次の条件を満たすことである。
a)
b)
c)
d) の任意の部分集合 に対し、 または
e) は有限集合を含まない。
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麻友「ああ、これ」
私「条件a)により、カメさんは、空集合 は、持っていない。次に、条件d)により、 か、 のどちらかは、持っている。ところが、 は、持っていないのだから、 を、持っている。空集合を引き算しても、元のままだから、 を、持ってる。これは、自然数全部の集合で、上で、カメさんが、持ってると言った集合だ」
若菜「えっ、こういうことなんですか? 真理のカメさんって、もの凄く条件が付いているけど、こういうことを、やるためだったんですか?」
私「だから、麻友さん達が、十分数学に慣れるまでは、見せられなかった」
結弦「じゃあ、さっきの、満点でなかったというのは?」
私「あれは、
と、
を、等しいとして良いか、だったな」
結弦「同じところの番号を、書き出すと、最初の 番目だけが、なくて、 という集合だ。これを、カメさんに、
『この集合を、持ってますか?』
と聞く」
私「今の場合、 という集合で、その補集合、 は、元の個数が1個と有限個の、有限集合だ。カメさんは、条件e)より、有限集合は、持ってない。だから、 と、その補集合のどちらかは、持っているという条件d)より、 は、持ってる。だから、
『持ってるよ』
と、答えてくるんだ」
麻友「真理のカメさんに聞く、というのは、あの5つの条件に照らし合わせて、判断することなのね」
若菜「今のを、見ていますと、有限の箇所、違っていても、それらは、同じですね」
私「そうなんだ。有限箇所違うのは、同じ。と、するだけだったら、真理のカメさんなんて、いらない。無限の箇所違うもの同士を、同じかどうか、判定するからこそカメさんが、必要になってくる」
結弦「例えば、どう言う場合?」
私「例えば、
と、
という場合だ」
麻友「あっ、これは、判定できない。 かも知れないし、 かも、知れないもの」
私「それでも、真理のカメさんは、答えてくれる」
麻友「どうやって?」
私「簡単に言うと、カメさんは、今までに自分が答えた答えを、全部、暗記していて、ヤバい問題でも、自分が矛盾した答えをしないように、慎重に答えるんだ。人間が、どんなに頑張っても、作れる問題は、有限個。だから、過去のことに気を付けていれば、人類が滅びるまで、ウソを1回も言わないで、済ませられるんだ」
若菜「有限って、大事なんですね」
麻友「今日は、7時から、10時までで、かなり、疲れてるし、もう6000文字超えてる。ひとまず、投稿したら?」
私「じゃあ、解散」
現在2022年9月16日10時13分である。おしまい。