３０年半かかったジョルダン標準形（その５） - 女の人のところへ来たドラえもん

　現在２０２２年９月２２日５時３８分である。（この投稿は、ほぼ４８７６文字）

麻友「プリンパフェ、１個食べたわね」

私「あーん。なんてやるのは、もっと恋人として、近付いてからだ」

若菜「昨日は、ジョルダン標準形、進められませんでした」

結弦「でも、お父さんが、僕達と、同時進行なのは、分かる」

私「ここから、手探りである。変換行列というのは、行列 A、を逆行列と自分自身で挟んで、ジョルダン標準形に変換する行列である。行列 A は、（その２）のときの定義と今回の定義が違うので、紛らわしいが、成分を見て、区別して欲しい。

${\displaystyle A=\begin{pmatrix} 27 & 48 & 81\\ 6 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}}$

に、変換行列のPを、 ${P^{ｰ1} A P}$ と、かけて、後から定めた、

${\displaystyle \begin{pmatrix} 6 & 0 & 0\\ 0 & 12 & 1\\ 0 & 0 & 12 \end{pmatrix}}$

と、一致しないかと、期待したのだ。そのとき、ひとつ勘違いしたということを、書いた」

私「（その２）のときの（計算したいA）

${\displaystyle A=\begin{pmatrix} 27 & 48 & 81\\ 6 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}}$

のところに、（その４）のときの A つまり求まったジョルダン標準形の、

${\displaystyle \begin{pmatrix} 6 & 0 & 0\\ 0 & 12 & 1\\ 0 & 0 & 12 \end{pmatrix}}$

を、入れてしまったのだ」

麻友「太郎さん。宇宙語しゃべってる」

若菜「でも、お父さんが、勝手に予想したり、予想に基いて、計算したりしているのは、分かります」

私「変換行列、

${\displaystyle P= \begin{pmatrix} 3 & 18 & 2\\ ｰ3 & ｰ9 & ｰ\frac{1}{4}\\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}}$

で、

（その４）のときの A つまり求まったジョルダン標準形の、

${\displaystyle A=\begin{pmatrix} 6 & 0 & 0\\ 0 & 12 & 1\\ 0 & 0 & 12 \end{pmatrix}}$

を、 ${P^{ｰ1} A P}$ と、挟んで、３つの積を、計算する。

${P^{ｰ1} A P}$

と、入力して Shift + リターン」

私「文法が間違っていると、エラーが２つ。Mathematica 4.2の本、

Mathematica基礎からの演習

作者:清雄, 渋谷,俊弘, 谷沢,幸一, 藤井
サイエンティスト社

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を、見返すと、 ${P}$ の逆行列 ${P^{ｰ1}}$ は、

Inverse[P]

と、書けと。また、行列の積は、ピリオドを打って、

Inverse[P].A.P

と、書けと、書いてある。ようし計算。

Inverse[P].A.P

で、Shift + リターン。

${\displaystyle \begin{pmatrix} \frac{31}{3} & -\frac{46}{3} & -2\\ \frac{5}{6} & \frac{59}{3} & 1\\ ｰ14 & -100 & 0 \end{pmatrix}}$

ああ、駄目か。 ${P}$ と、置いたのは、変換行列では、なかったのか。ガッカリ、ガッカリ」

私「ここまで、スラスラ書いているように見えるだろうが、この何倍も失敗している。こんなものでは、ないのだ」

麻友「失敗を、見せたかったの？」

私「いや、違う。この結果を見ていて、『うーん、駄目か。でも、数学では、右と左入れ換えたもの（つまり、 ${P^{ｰ１}}$ と、 ${P}$ の定義が、逆になっていること）って、あるよな。ここまでやったんだから、入れ換えて、みたら？』と、やってみた

P.A.Inverse[P]

ポン。

${\displaystyle \begin{pmatrix} 27 & 48 & 81\\ 6 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}}$

　きょとん。

　えーと、これ何なんだろう。

　そもそも、・・・。えっ、最初の行列？

　じゃ、できたんじゃない。

　麻友さん。できたんだよ！

　＼(^O^)／－。

　どういうことかというと、

${P（求めたいジョルダン標準形、（その４）でのA）P^{ｰ1}}$
${=（ジョルダン標準形を計算したい、（その２）のときのA）}$

となっていることが、分かった」

　ここまで書いて、７時３分、眠くなり、眠った。

　現在２０２２年９月２２日１０時０５分である。再開。

私「どういうことかというと、（求めたいジョルダン標準形、（その４）での ${A}$ ）を、改めて、 ${J}$ と、書くことにすると、

${P（求めたいジョルダン標準形、（その４）でのA）P^{ｰ1}}$
${=（ジョルダン標準形を計算したい、（その２）のときのAつまり）}$

は、

${PJP^{ｰ1}=A}$

と、なるというのだ。具体的には、

${\displaystyle A=\begin{pmatrix} 27 & 48 & 81\\ 6 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}}$

${\displaystyle P= \begin{pmatrix} 3 & 18 & 2\\ ｰ3 & ｰ9 & ｰ\frac{1}{4}\\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}}$

${\displaystyle J=\begin{pmatrix} 6 & 0 & 0\\ 0 & 12 & 1\\ 0 & 0 & 12 \end{pmatrix}}$

である。そして、私は、

${PJP^{ｰ1}=A}$

であることを、計算で、確かめたのだった。

麻友さん見てて、

　この式の左から、 ${P^{ｰ1}}$ を、かけ、

${P^{ｰ1}PJP^{ｰ1}=P^{ｰ1}A}$

　で、次に右から ${P}$ をかけ、・・・」

私「あ、言っておくけど、行列の積では、交換法則は成り立たないから、

${PJP^{ｰ1}=A}$

から、

${PP^{ｰ1}J=A}$

${J=A}$

なんて、ことは、できないから、苦労してるんだからね。でも、結合法則は、成り立つ」

　だから、

${P^{ｰ1}PJP^{ｰ1}P=P^{ｰ1}AP}$

で、

${(P^{ｰ1}P)J(P^{ｰ1}P)=P^{ｰ1}AP}$

とすると、逆行列は、キャンセルして、 ${1}$ みたいに、なるのだから、

${J=P^{ｰ1}AP}$

となる。つまり、行列 ${A}$ を、ポーンと、与えられて、『これの、ジョルダン標準形を、計算して』と、言われたら、もう、Mathematica で、数分で、計算できるようになったんだよ。だって、Mathematica が、変換行列も、ジョルダン標準形も、計算してくれるのだもの」

麻友「それを、３０年半もの間、やりたかった？」

私「そう」

若菜「やり遂げたお父さんは、凄いけど、Mathematica ほどのものが、必要だったのですか？」

私「ただちに、ウルフラムアルファで、計算できるかどうか、試す。Yahoo! Japan で、ウルフラムアルファ。自然言語から、いったん数学入力へ、行列の形をしたアイコンをタッチして、３行３列の行列を入力できるようにして、 ${A}$ を、入力。そしてそのまま、『のジョルダン標準形』としたら、エラーが出たので、入力した中身はそのままに、自然言語に戻る。行列が、リストで書かれているけど、『のジョルダン標準形』と入力して、リターンを、押すと、変換行列も、ジョルダン標準形も、表示された」

結弦「つまり、僕達でも、できるってこと？」

私「その価値が分かってればね」

若菜「ちょっと、気になるのですけど、お父さんは、ジョルダン標準形は、対角化することだと、言っていますが、上の ${J}$ は、右下の ${12}$ の上に、 ${1}$ が、あります。良いのですか？」