超実数そして実数（その６） - 女の人のところへ来たドラえもん

　現在２０２２年９月２６日２１時０８分である。（この投稿は、ほぼ４８８４文字）

麻友「今日は、通院だったわね。問題は、なかったようだけど」

私「『尿酸値が高くて、痛風になって、左の肩が痛いのかも知れないですけど』と、言ったら、『五十肩なんじゃ、ないですか？』と言われた」

若菜「『夜、３時とか、５時とかに、目が覚めることもあって、今日は、（と、手帳を広げたら、）「８：１１起きる」と、書いてあって、今日は、良く眠れたようです』と、答えたら、先生に、『細かいですね』と、言われましたね」

私「今日は、もう眠いので、続きは、明日にする。お休み」

　現在２０２２年９月２６日２１時５２分である。中断。

　現在２０２２年９月２７日３時０４分である。再開。

麻友「また、随分早くから、起きているわね」

私「十分寝た気持ちなのに、時計を見たら、２時２２分だったんだ」

麻友「眠くなったら、寝るのよ」

私「うん。そういえば、Web広告で、秋元康が、ヤクルト１０００の、コマーシャルやっているみたいね」

麻友「秋元大先生が、若手のＡＫＢ４８のメンバーと、ＣＭ作った。私の以前のヤクルトレディと、関係はないと言ったら、ウソになるわね」

私「乳酸菌が、１０００億個入っていても、無限個には、かなわないことを、示そう。そのために、（その５）のときの、フィルターの定義から、振り返ろう。

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　１．１．１　定義

　 ${I}$ を空でない集合， ${\mathscr{P}(I)}$ を ${I}$ の羃（べき）集合，すなわち ${I}$ の部分集合の全体とする． ${\mathscr{P}(I)}$ の空でない部分集合 ${\mathscr{F}}$ がつぎの三条件をみたすとき， ${\mathscr{F}}$ を、 ${I}$ 上のフィルター（filter）という：

ａ） ${\emptyset \notin \mathscr{F}}$

ｂ） ${A \in \mathscr{F}, A \subset B \Rightarrow B \in \mathscr{F}}$

ｃ） ${A,B \in \mathscr{F} \Rightarrow A \cap B \in \mathscr{F}}$ ．

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　　　　　　　　　　　　　　　　　（齋藤正彦『超積と超準解析』９ページより）

だった」

若菜「もう、忘れかけてる」

私「忘れても、いい。見て、何が問題だったか、思い出せれば」

結弦「この定義では、 ${I}$ 上のフィルターとなっているけど、真理のカメさんは、 ${\mathbb{N}}$ 上のフィルターなんだよね。どうして、こんなものを、考えるの？」

私「（その３）のときの、

${a=(0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1, \cdots)}$

と、

${b=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1, \cdots)}$

を、等しいとして良いか、というとき、数列の同じ番号のところが、同じ数のところ、この場合、 ${\{1,2,3,4,5,6,7, \cdots\}}$ という集合が、 ${\mathscr{F}}$ に、入っている。というように、上手く判定できるようなものが、欲しかったからだよ」

若菜「どうして、この条件なんですか？」

私「まず、ａ）の、

ａ） ${\emptyset \notin \mathscr{F}}$

は、全く一致している番号がない、というのは、同じ超有理数と、見なすわけには、いかないということで、真理のカメさんには、入ってないというのは、いいな」

私「次に、

ｂ） ${A \in \mathscr{F} , A \subset B \Rightarrow B \in \mathscr{F}}$

なんだけど、

${i=(3,3.5,4,4.5,5,\cdots)}$

と、

${j=(4,4.5,4,4.5,5,\cdots)}$

とを、比べると、同じところの集合は、 ${\{2,3,4,5,6,7, \cdots\}}$ となる。これは、補集合、 ${\{0,1\}}$ という集合が、有限集合だから、以前の議論で、真理のカメさんは、『持ってるよ』と、答えてくるはずだ。でも、今は、真理のカメさんでなく、ただのフィルターを、考えているから、その議論は、使えない。ただ、もし、フィルターに、 ${\{2,3,4,5,6,7, \cdots\}}$ が、入っていたら、と仮定することは、できる。その場合、新しく、

${k=(3,4.5,4,4.5,5,\cdots)}$

という元が、

${i=(3,3.5,4,4.5,5,\cdots)}$

と、同じかどうか、と、問うことは、できる。この場合、同じところの集合は、 ${\{0,2,3,4,5,6,7, \cdots\}}$ である。ここで、同じ場所の集合は、見て分かるように、 ${\{2,3,4,5,6,7, \cdots\} \subset \{0,2,3,4,5,6,7, \cdots\}}$ である。つまり、フィルターに入っている集合より、大きい集合は、やっぱり、フィルターに入っているとするのが、望ましいだろう。というのが、

ｂ） ${A \in \mathscr{F} , A \subset B \Rightarrow B \in \mathscr{F}}$

なのである」

　現在２０２２年９月２７日１８時１９分である。再開。

麻友「太郎さん。マックへ行ってたのね」

私「１日１回は、外へ出るように、している」

若菜「良いことです」

結弦「ａ）と、ｂ）の条件は、分かった。ｃ）の条件は？」

私「これが、分かり易く書かれている本は、なかなか、見つけられなかった。だが、以下の本で、克服できた。

超準解析と物理学(増補改訂版) (数理物理シリーズ)

作者:中村徹
日本評論社

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の、５ページ」

私「差し当たって、さっきのような、

${i=(3,3.5,4,4.5,5,\cdots)}$

に関し、これと、

${j=(4,4.5,4,4.5,5,\cdots)}$

が、等しいというのを、どう表そうか？」

若菜「同じ同値類に、属すと、言うことですよね」

麻友「何を、言ってるの？　同値類？」

私「ああ、良いんだ。そう、同値類を、まとめるという話なんだ」

若菜「有理数のときは、 ${\sim}$ でしたけど、今回は、 ${\stackrel{\mathscr{F}}{\sim}}$ とか」

私「それで行こう」

若菜「 ${i \stackrel{\mathscr{F}}{\sim} j}$ みたいに、表すわけですね」

私「それで、同値類ということは、何をチェックするのだった？」

麻友「同値関係の反射律、対称律、推移律、だったわね」

私「おお、追い付いて来たね」

結弦「この場合、反射律や、対称律は、余り問題ではなく、推移律が、問題だね」

私「 ${i \stackrel{\mathscr{F}}{\sim} j}$ と、 ${j \stackrel{\mathscr{F}}{\sim} k}$ から、 ${i \stackrel{\mathscr{F}}{\sim} k}$ が、導けるかどうかだな」

麻友「あっ、そうか、 ${\{n|i_n=j_n \} }$ と、 ${\{n|j_n=k_n \}}$ とするとき、 ${\{n|i_n=k_n \}}$ に、 ${\{n|i_n=j_n \}\cap \{n|j_n=k_n \}}$ は、含まれている。ｃ）の条件が、成り立つなら、推移律がなりたつことに、なるんだ。だって、その集合より大きい集合は、条件ｂ）により、フィルターの元なのだものね」

若菜「これで、同値類に分けるという、目的のためには、フィルターという概念は、有効ですね」

結弦「ちょっと、フィルターというものを、作ってみようよ」

若菜「私達の目的のためには、一般的な、 ${I}$ よりも、 ${I=\mathbb{N}}$ のときの方が、良いですね」

私「そうだな。作り方が、簡単な例としては、 ${\mathbb{N}}$ の、あるひとつの空でない部分集合を含む部分集合の全体。というのがある」

麻友「太郎さん、私達のレヴェルを考えて、言ってる？」

私「ゆっくり考えれば、分かる」

若菜「例えば、空でない部分集合として、 ${\{4,7\}}$ とか、しましょう。あっ、お母さん、お父さんの心が、ちょっとずつ離れて行ってますよ」

麻友「大丈夫。今日、もう一度、『ねらわれた学園』観て、ナツキという幼なじみの声が、本当に私かどうか、チェックしてたくらいだから」

結弦「余りにも見え透いた、48に、したくなかったんだと思う」

私「お前たち、勝手なこと、言ってるな。47、にしたのは、48から、46に移りたいからでなく、

Algebre: Chapitre 4 a 7 (Elements de Mathematique)

作者:Bourbaki, N.
Springer

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を、思い浮かべていたからだよ」

若菜「あっ、ブルバキ。長らく、放置プレイに処されてますけど、復活する可能性は、あるんですか？」

私「まだ話してなかったけど、ブルバキのスペクトル論という巻に、新巻が出るんだ。

Théories spectrales: Chapitres 3 à 5

作者:Bourbaki, N.
Springer

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ブルバキが、今でも、必要とされているんだ。嬉しい」

結弦「それで、 ${\{4,7\}}$ を含む、 ${\mathbb{N}}$ の部分集合の全体とは、

${\{\{1,2,3,4,5,6,7\},\{2,3,4,6,7\},\{4,7\},\{4,7,9\},\cdots\}}$

というようなものだ。 ${\emptyset}$ は、含まれていない。 ${\{4,7\}}$ より、 ${\{4,7\} \subset \{4,7,9\}}$ だから、 ${\{4,7,9\}}$ は、フィルターに入っている。 ${\{1,2,3,4,5,6,7\},\{2,3,4,6,7\}}$ から、 ${\{1,2,3,4,5,6,7\} \cap \{2,3,4,6,7\}}$ だが、どちらも、 ${\{4,7\}}$ を含む部分集合だから、 ${\{4,7\}}$ を含む、 ${\mathbb{N}}$ の部分集合全体に、含まれている。丁寧に見ていくと、全く分からなかったことも、分かってくるんだな」

私「今日は、ここまでとするが、今後、さらに、超フィルターへと、進み、 ${\omega ｰ\mathrm{incomplete}}$ な超フィルター、非単項超フィルターなどと進む。ここで、非単項で、 ${\omega ｰ\mathrm{incomplete}}$ でない超フィルターは、存在するかどうか、分かっていない。という謎の言葉と、出会う。楽しみにしていて欲しい」

若菜・結弦「おやすみなさーい」

麻友「おやすみ」

私「おやすみ」

　現在２０２２年９月２７日２２時３６分である。おしまい。