現在２０２３年３月２６日１３時４４分である。（この投稿は、ほぼ５１７５文字）
麻友「超実数の定義に必要な、可算集合という概念は、ベルンシュタインの定理によって、確定した」
若菜「いよいよ、超実数の構成ですね」
私「麻友さん。２９歳か。何か、プレゼントを、と思ったんだけど、住所も知らないし、プロダクション尾木のビルに送っても、届けてくれるかどうか分からないから、麻友さんをお祝いする投稿を、送るよ」
結弦「どんな、投稿をするの？」
私「実数の構成を、しようと思う。今日中に、最後まで行くかどうか、分からないが」
若菜「そのためには、真理のカメさんの存在を、言わなければ」
私「アマゾンで、898,789円などという高額で、売られているのを、止めさせたいから、『超積と超準解析』の、大切な部分を、写そうと思う」
麻友「全部は、写せないでしょ」
私「超準解析を使えるようになるところまで、写すことにする」
結弦「具体的には？」
私「序章に書いてある集合論の要約の中で、一般に普及していない記号を、明示する。そして、第一章の超積と無限小解析の§1 超フィルター を、丁寧に説明する。これで、今日は、終わるだろう」
結弦「第一章の §1 だけ？ 却って読みたくなっちゃう」
私「超準解析って、名前ほど凄いものじゃないんだ。使い方が分かっちゃうと、超準解析の考え方で、結論を出して、証明は、標準解析でやった方が、確実だったりする。だから、超準解析に対する幻を消してあげるのは、良いことだ」
麻友「じゃあ、始めてよ」
私「本の扉。
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〔増補新版〕
超積と超準解析
ノンスタンダード・アナリシス
東京大学教授
理学博士 齋藤正彦
東京図書株式会社
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これに憧れた若者が、多かったんだよなあ。私も、そのひとりだった」
若菜「確かに、カッコいいです。羽生結弦君ぐらい」
結弦「スポーツ選手って、カッコいいよなあ」
麻友「太郎さんは、序章８ページ分を、要約すると言ってる。どれくらいなのかしらね」
私「序章の要約。左辺を右辺で、定義する。
なら
が成り立つとき、
を無共分族という。（無共通部分族の意）
基数 の次の基数を、
で表す。
以上だ」
若菜「これだけですか？ 数学の本は、初めの２０ページが、大変ということでしたが」
私「気を付けるべきなのは、普通の数学書では、 は、
と書くことなんだよ。これだけ、気を付けていれば良い」
麻友「それを、信じて、第１章に入りましょう」
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第一章 超積と無限小解析
この章ではまず超フィルター，とくに自由超フィルター（ な超フィルター：注．私達は、名前は長いが、こちらを使う）を定義してその存在を示す．つぎに，自由超フィルターを法とする超積の概念を導入し，実数体の超羃（ちょうべき）として超実数体を作る．これは実数体を真に含む非アルキメデス全順序体で，正負の無限大の元や
でない無限小の元をもつ．これを使って，ライプニッツ流の無限小解析がそのまま合理化される．ここは，論理の形式化を必要としない，まったく普通の数学である．また，ここに書いた程度のことが，論理を形式化しないですむことがらの限界でもある．
超フィルター
フィルター
１．１．１ 定義
を空でない集合，
を
の羃（べき）集合，すなわち
の部分集合の全体とする．
の空でない部分集合
がつぎの三条件をみたすとき，
を
上のフィルター(filter)と言う：
ａ）
ｂ）
ｃ）．
１．１．２ 例
１） のある一つの空でない部分集合を含む部分集合の全体．
２） が無限集合のとき，
の有限部分集合の補集合の全体．これを
上の フレシェ・フィルター（Fréchet filter）と言い，
と書く．
３） が位相空間のとき，
の一点
の近傍の全体．
１．１．３ 定義
１） を
の空でない部分集合とする．
の任意の有限個の元
に対して
が空でないとき，
は有限交差性をもつ，または有限交差的であると言う．
２） の空でない部分集合
がフィルター基底であるとは，
a）
b） なら，
に含まれる
の元
が存在する．
の二条件をみたすことである．
フィルター基底は有限交差的である。フィルターはフィルター基底である．
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（齋藤正彦『超積と超準解析』９～１０ページより）
麻友「ちょっ、ちょっと、この本、定義、例、で、どんどん行っちゃうの？」
私「そう。典型的な、数学の本で、容赦しない」
若菜「本当に、こういう本が、あるんですねえ」
私「数学の本は、わざと丁寧に書いた本以外は、こういうスタイルにした方が、却って読みやすいんだ」
結弦「定義、公理、定理、証明、を羅列した本があるって、聞いてたけど、本当に目にするとは。お父さんも、最初、面食らったでしょう」
私「この本を、買ったのは、１９９４年１月１０日となっているが、１回生の夏休み（１９９１年７月）に、図書館でこの本を借りて、広島へ帰省したのを覚えているから、１回生で読み始めている。この本、本文は、こういうスタイルだけど、附録で、数学基礎論の抜粋があったり、倉田令二朗（くらた れいじろう：２００１年８月８日没）・広瀬健（ひろせ けん：１９９３年８月１６日没）・齋藤正彦（さいとう まさひこ：２０２０年１２月３１日没）の３人で、『超準解析とは何か』という討論をしたり、ローブ測度に触れたり、そっちの方が、面白くて、「新しい数学を、創るぞ！」と、夢中になったものだった．今調べて、齋藤正彦さんが、２０２０年１２月３１日に、亡くなられていたことを、知った。放送大学時代、レポートを送って、励ましていただいたり、色々お世話になりました」
麻友「じゃあ、私の引退した年、２０２０年末に亡くなられた、齋藤正彦さんに、この私へのプレゼントを、献げることにして、今日は、終わりにしない？」
若菜「ブルバキも、改訳難しくなりますね。森毅さんも、亡くなられているし」
結弦「もう、改訳でなく、新訳としなきゃ」
私「とにかく、キースラー著、齋藤正彦訳の『無限小解析の基礎』（東京図書）と、齋藤正彦著の『超積と超準解析』（東京図書）は、面白い本と言うことで、ちくま学芸文庫に、入れても良い本です。パウリやランダウの本と同じくらい、学術的に高い本です．筑摩書房さま。よろしくお願いします」
麻友「今日は、本当は、質問したいこと、いっぱいあったのよ。羃という漢字と、冪という漢字、使い分けているのか？ とか、法とする超積って、法って何？ とか非アルキメデスって、何か？ とか羃集合と、超羃って、違うものなのか？ もう、言葉に出来ないくらい、？ を、もらった。太郎さんらしいプレゼントだった。以前、太郎さんから、２０代最後の写真を、もらったことある。私の今日の写真と並べてみようかしら？」
私「麻友さんは、私が、統合失調症だ。というための、証明になっているんだ」
若菜「どういうことですか？」
私「先日の自立支援医療の申請のための、診断書。
赤い印鑑のそばの④の欄に、「現在は内服にて概ね落ち着いているものの，アイドルに関する恋愛妄想は持続している。」
とある」
結弦「お母さんのせいで、統合失調症が、治らないということ？」
私「逆に、麻友さんが、本当に私と恋愛してくれたら、これは、妄想ではなくなり、統合失調症は、治っているということになり、援助を受けられないということだね」
麻友「こんな、意地悪を、しかもお誕生日にするなんて、やっぱり太郎さんって、変わってるわね。でも、いい、今まで、７年１１カ月も，無駄になるかも知れない、数学の講義を、してくれた、太郎さん。若菜や、結弦なんていう幻覚まで生み出して、楽しかったし、これからも、楽しいだろう。私、知ってるのよ。太郎さん水曜日に、私の CD 買ってくれたこと」
私「『サヨナラの橋』を、持ってなかったんだ。それに、買ってみたら、『地平線の彼方はどこにある？』も、入ってた。ラッキー！」
結弦「引退して３年経っても、こんなに喜んでくれるファンは、なかなかいないだろうな」
若菜「まゆプラネットさんとか、強そう」
結弦「まゆプラネットさんって、結婚してるって分かって、それでよくあんなに、熱心な活動できるなって、お父さんびっくりしてた」
麻友「ファンの人達、みんなの願いが叶いますように」
私「じゃあ、おやすみ」
若菜・結弦「おやすみなさーい」
麻友「おやすみ」
現在２０２３年３月２６日２１時４１分である。おしまい。
