疑似定理 - 女の人のところへ来たドラえもん

　現在２０２３年４月３日１７時３４分である。（この投稿は、ほぼ３２６２文字）

麻友「太郎さん。嬉しそう」

私「量子力学の本で、分からなかったところを、攻め落としたんだ」

若菜「どの本ですか？」

私「グライナーの本」

量子力学概論 (SPRINGER UNIVERSITY TEXTBOOKS)

作者:ワルタ-・グライナ-,伊藤伸泰
丸善出版

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結弦「これ、新装版より新しいのが、あるみたい」

私「本当のこというと、こんな非相対論的量子力学のレヴェルで、新装版なんか出すのは、卑怯なんだよ。あのファインマンの『ファインマン経路積分と量子力学』という題で、最初マグロウヒルから出版された本も、『量子力学と経路積分』という題になって、みすず書房から、出版され、さらにトコトン誤植を直したという『emended edition』というのが、アメリカで発売され、やがて日本語訳も出た。

【新版】量子力学と経路積分

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良い本だから、最新のを、と思う気持ちにつけ込んでいて、非常に不愉快だ」

若菜「敵はどういう問題だったんですか？」

私「グライナーの本の第４章　４．８角運動量演算子と球面調和関数という節で、角運動量ベクトルの２乗を、計算するのに、手間取った。そこを、一応黙認して、読み続けたが、４．９運動エネルギー演算子という節で、問題はさらに複雑になって、来襲してきた。元寇みたいだ。こちらも、武器を揃えて、待っていた」

結弦「武器って？」

私「この間、（その１７）の記事で、チラッと言った。杉浦『解析入門Ⅰ』の１４４ページのこれ」

$\varDelta f=\frac{1}{r} \frac{\partial^2}{\partial r^2} (rg)+\frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac {\partial }{\partial \theta} \biggl(\sin \theta \frac{\partial g}{\partial \theta} \biggr) +\frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \frac{\partial^2 g}{\partial \varphi ^2}$

結弦「Mathematica で、検算したいって、言ってた、あれか。Mathematica で、できたの？」

私「出来なかったんだよ」

若菜「出来なかったら、困るじゃないですか。どうしたんですか？」

私「手で確かめるしかないじゃん。だから、『解析入門Ⅰ』のその節に書いてあるとおり、計算して、確かめた」

若菜「それが、分かると、どう良いことが、あるんですか？」

私「４．９運動エネルギー演算子という節で、運動エネルギー演算子を、

$\hat{T}=-\frac{\hbar^2}{2m} \varDelta$

とした後、

$\hat{T}=-\frac{\hbar^2}{2m} \biggl[\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r} \biggl(r^2 \frac{\partial}{\partial r} \biggr) +\frac{1}{r^2} \varDelta_{\theta ,\varphi} \biggr]$

と、計算できる。実は、１回目に来襲したとき、

$\varDelta_{\theta ,\varphi}$

の部分は、苦労して、計算してあった。そして、今回、

$\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r} \biggl(r^2 \frac{\partial}{\partial r} \biggr)$

の部分が、計算で確かめられた」

結弦「何か、新しいことが、分かった？」

私「分かったんだよ。杉浦光夫さんの本で、

となってるのは、間違いではないけど、計算で確かめた式で、 $\frac{1}{r^2}$ で、式が括れるだろう。だから、

$\varDelta f=\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \biggr(r^2 \frac{\partial g}{\partial r} \biggr)+\frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac {\partial }{\partial \theta} \biggl(\sin \theta \frac{\partial g}{\partial \theta} \biggr) +\frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \frac{\partial^2 g}{\partial \varphi ^2}$

$\varDelta f=\frac{1}{r^2} \biggl\{ \frac{\partial}{\partial r} \biggr(r^2 \frac{\partial g}{\partial r} \biggr)+\frac{1}{\sin \theta} \frac {\partial }{\partial \theta} \biggl(\sin \theta \frac{\partial g}{\partial \theta} \biggr) +\frac{1}{\sin^2 \theta} \frac{\partial^2 g}{\partial \varphi ^2} \biggr\}$

と、変形できて、ラプラシアンが、 $\frac{1}{r^2}$ で括れるということを、知った。偏微分方程式は、１７世紀から研究されているから、偏微分方程式の本には、当然書いてあるだろうけど、教科書で読む前に、気付いたということは、疑似太郎の定理ということで、自由に使える。偏微分方程式、勉強する時期が、到来したと、言えるかもな」

麻友「ああ、太郎さん。こういうことなのね。数学を楽しんでいる。疑似太郎の定理、何番目か、分からないわね」

若菜「ラプラシアンって、なんですか？」

私「ああ、あの上向きの三角のしるし。シュレーディンガー方程式やるとき、出てくるかも」

結弦「僕も、疑問。どうして、上の式で、左辺では、関数が、 ${f}$ なのに、右辺では、 ${g}$ になってるの？」