女の人のところへ来たドラえもん

21歳の女の人と43歳の男の人が意気投合し、社会の矛盾に科学的に挑戦していく過程です。                    ブログの先頭に戻るには、表題のロゴをクリックして下さい。                                   数式の変形。必ずひと言、添えてよ。それを守ってくれたら、今後も数学に付き合ってあげる。

疑似太郎の定理炸裂

 現在2023年4月5日21時37分である。(この投稿は、ほぼ1657文字)

麻友「えっ、何々、疑似太郎の定理って、この間の?」

私「私、今日まで、知らなかったんだけど、ChatGPT(チャットジーピーティー)というものが、2022年11月頃から、もの凄く、もてはやされているんだってね」

若菜「お父さん。天然記念物のカブトガニより古いです」

結弦「誰に、教わったの?」

私「教わったというよりは、Mathematica の Wolfram社から、メールが、来たんだ。Wolfram社は、ChatGPT が、数学の問題で困っているとき、Wolfram Alpha の範囲で、協力します。と言うようなことが、英文で書いてあった。私の英語力だから、細部のニュアンスは違うけど」

麻友「そうすると、先日のラプラシアン、計算させようとしたのね」

私「まず、Wolfram Alpha で、解けるのかな? と、色んな言葉を、入れてみた。最終的に、このワードと、関数の組が、うまく行った」

若菜「

ワード:3次元極座標ラプラス演算子を計算したもの

スカラー関数:f(r, theta, phi)

r(アール),theta (シータ),phi(ファイ)というわけですね」

結弦「それで、計算すると?」

私「こう出てくる」


結弦「あっ、分かった。杉浦『解析入門Ⅰ』の式しか、知らなかったら、{r^2} で割ってあるのを見て、間違いだと思ったかも知れないんだ」

若菜「でも、お父さんは、先日の『疑似定理』の投稿に書いていたように、ラプラシアンが、{\displaystyle \frac{1}{r^2}} で括れることを、知ってた。だから、落ち着いて、結果を比較した」

麻友「ちょっと、聞きたいんだけどさあ、この式、本当に、合ってるの?」

{\displaystyle \varDelta f=\frac{1}{r^2} \biggl\{ \frac{\partial}{\partial r} \biggr(r^2 \frac{\partial g}{\partial r} \biggr)+\frac{1}{\sin \theta} \frac {\partial }{\partial \theta} \biggl(\sin \theta \frac{\partial g}{\partial \theta} \biggr) +\frac{1}{\sin^2 \theta} \frac{\partial^2 g}{\partial \varphi ^2} \biggr\}}

私「合っているよ」

麻友「どうして、そう言えるの?」

私「Mathematica で、計算の方法が分からなかったから、地道な解析学の初歩を『解析入門Ⅰ』で、学んで、本当に手で計算したから。式の項が、50を越えたら計算機に回すとか言ってたけど、実際には、10項にも満たない計算だったんだ」

麻友「その結果は、『解析入門Ⅰ』の結果と一致した。そして、『解析入門Ⅰ』と独立に計算している Wolfram Alpha とも、一致した。だから、正しい」

私「実は、あの後、金子晃(かねこ あきら)『偏微分方程式入門』(東京大学出版会)を、開いてみたんだ。そうしたら、48ページにもっと楽な方法が、書いてあった。一応48ページの式(4.10)。だから、全部間違えている可能性は低い」

若菜「ちょっと、気になるのは、{\csc^2 (\theta)} という関数なのですけど」

私「日本で、こんな書き方をしてあるのは、珍しいけど、

{\displaystyle \csc^2 \theta =\mathrm{cosec}^2 \theta =\frac{1}{\sin^2 \theta}}

だ。ついでに、

{\displaystyle \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}}

だよ。

{\varphi} が、{\phi} になっているのも、違うね」

若菜「記号が増えると、統一できなくなりますね」

結弦「最終的に、

{\displaystyle \frac{1}{r^2} \biggl\{ \frac{\partial}{\partial r} \biggr(r^2 \frac{\partial g}{\partial r} \biggr) \biggr\}=\frac{1}{r^2} \biggl\{2r \frac{\partial g}{\partial r}+r^2 \frac{\partial^2 g}{\partial r^2} \biggr\}}

{\displaystyle \frac{1}{\sin \theta} \frac {\partial }{\partial \theta} \biggl(\sin \theta \frac{\partial g}{\partial \theta} \biggr) =\frac{\cos \theta }{\sin \theta}\frac {\partial g}{\partial \theta} +\frac {\partial^2 g}{\partial \theta^2}}

だから、

{\displaystyle \varDelta f=\frac{1}{r^2} \biggl\{ \frac{\partial}{\partial r} \biggr(r^2 \frac{\partial g}{\partial r} \biggr)+\frac{1}{\sin \theta} \frac {\partial }{\partial \theta} \biggl(\sin \theta \frac{\partial g}{\partial \theta} \biggr) +\frac{1}{\sin^2 \theta} \frac{\partial^2 g}{\partial \varphi ^2} \biggr\}}

は、

{\displaystyle \varDelta f=\frac{1}{r^2} \biggl\{ 2r \frac{\partial g}{\partial r}+r^2 \frac{\partial^2 g}{\partial r^2}+\frac{\cos \theta }{\sin \theta}\frac {\partial g}{\partial \theta} +\frac {\partial^2 g}{\partial \theta^2}+\frac{1}{\sin^2 \theta} \frac{\partial^2 g}{\partial \varphi ^2} \biggr\}}

と、変形できる。項の順番を入れ換えると、

{\displaystyle \varDelta f=\frac{1}{r^2} \biggl\{ r^2 \frac{\partial^2 g}{\partial r^2}+\frac {\partial^2 g}{\partial \theta^2}+\frac{1}{\sin^2 \theta} \frac{\partial^2 g}{\partial \varphi ^2} +2r \frac{\partial g}{\partial r}+\frac{\cos \theta }{\sin \theta}\frac {\partial g}{\partial \theta} \biggr\}}

よって、

{\displaystyle \varDelta f=\frac{1}{r^2} \biggl\{ r^2 \frac{\partial^2 g}{\partial r^2}+\frac {\partial^2 g}{\partial \theta^2}+\mathrm{cosec}^2 \theta \frac{\partial^2 g}{\partial \varphi ^2} +2r \frac{\partial g}{\partial r}+\cot \theta \frac {\partial g}{\partial \theta} \biggr\}}

Wolfram Alpha の計算、合ってる」

若菜「結弦、頑張ったわね」

私「本来、麻友さん達は、偏微分なんて、知らないという建前だった。難しい話に付き合わせてしまった。申し訳なかった」

麻友「でも、疑似太郎の定理が、生きたのを見たのは、嬉しかったわ」

私「それでは、解散」

 現在2023年4月5日23時08分である。おしまい。