超実数そして実数（その１９） - 女の人のところへ来たドラえもん

　現在２０２３年４月８日２０時３３分である。（この投稿は、ほぼ５７４６文字）

麻友「太郎さん。ここのところ、この題で、投稿を書き始めるのに、私とのおしゃべり始めてしまって、やむなく題名変えていたのよね」

私「４回連続、超実数の話が、できなかったな。今日は、必ず進める」

若菜「今日は、どういう話ですか？」

私「真理のカメさん、つまり可算級善良超フィルターの定義って、なんだっけ？」

結弦「今の場合、ブログ内検索に、『可算級善良超フィルター』って、入れてみると、『超実数そして実数』の（その５）が、良さそうだな。持ってくると、

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可算級善良超フィルターとは、この場合、次の条件を満たすことである。

　ａ） ${\emptyset \notin \mathscr{F}}$

　ｂ） ${A \in \mathscr{F} , A \subset B \Rightarrow B \in \mathscr{F}}$

　ｃ） ${A,B \in \mathscr{F} \Rightarrow A \cap B \in \mathscr{F}}$

　ｄ） ${\mathbb{N}}$ の任意の部分集合 ${A}$ に対し、 ${A \in \mathscr{F}}$ または ${\mathbb{N} - A \in \mathscr{F}}$

　ｅ） ${\mathscr{F}}$ は有限集合を含まない。

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とある。あれっ？　そういえば、１つ前の、１．１．８　命題は、

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　１．１．８　命題

　 ${I}$ 上のフィルター ${\mathscr{F}}$ に関するつぎの四条件は同値である：

a) ${\mathscr{F}}$ は超フィルターである．

b) ${I}$ の任意の部分集合 ${A}$ に対し， ${A \in \mathscr{F}}$ または ${I-A \in \mathscr{F}}$ ．

c) ${A,B \subset I, A\cup B \in \mathscr{F}}$ なら， ${A \in \mathscr{F}}$ または ${B \in \mathscr{F}}$ ．

d) ${A_1, \cdots ,A_n \subset I, A_1 \cup \cdots \cup A_n \in \mathscr{F}}$ なら，少くとも一つの ${A_i}$ が ${\mathscr{F}}$ に属する．

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　　　　　　　　　　　　　　　　『超積と超準解析』（１１ページより）

だったけど、４つの条件の上の２つって、超フィルターは、

b) ${I}$ の任意の部分集合 ${A}$ に対し， ${A \in \mathscr{F}}$ または ${I-A \in \mathscr{F}}$ ．

ということと同値だと言ってる。真理のカメさんの４番目の条件、

　ｄ） ${\mathbb{N}}$ の任意の部分集合 ${A}$ に対し、 ${A \in \mathscr{F}}$ または ${\mathbb{N} - A \in \mathscr{F}}$

は、 ${I=\mathbb{N}}$ として、これを焼き直したものだ。真理のカメさんは、確かに超フィルターなんだ。条件を満たしていれば」

若菜「ツォルンの補題を使った定理で、超フィルターが、存在することを、証明しましたね。後、真理のカメさんは、どんな性質を持っていて、どうすれば、そういうフィルターが、あると証明できるんでしょう」

私「後、ひとつなんだよ。

可算級善良超フィルターとは、この場合、次の条件を満たすことである。

　ａ） ${\emptyset \notin \mathscr{F}}$

　ｂ） ${A \in \mathscr{F} , A \subset B \Rightarrow B \in \mathscr{F}}$

　ｃ） ${A,B \in \mathscr{F} \Rightarrow A \cap B \in \mathscr{F}}$

　ｄ） ${\mathbb{N}}$ の任意の部分集合 ${A}$ に対し、 ${A \in \mathscr{F}}$ または ${\mathbb{N} - A \in \mathscr{F}}$

　ｅ） ${\mathscr{F}}$ は有限集合を含まない。

のうち、ａ）～ｃ）は、フィルターだという条件だっただろう。そして、ｄ）は、クリアした。最後は、ｅ）だ。

若菜「どんな命題が？」

私「ちょっと、薬の時間になっちゃった。一旦中断」

　現在２０２３年４月８日２１時２０分である。中断。

　現在２０２３年４月９日１４時２５分である。再開。

麻友「昨日は、太郎さん。早く寝た？」

私「うん。早く寝たよ。２２時より前に寝た」

若菜「それは、お母様のためにも、良かったんじゃないですか？」

結弦「薬飲みますって、写真撮って送らないとならなくて、お母様、それが来るの、待ってるんでしょ」

麻友「どうして、そこまでしなければ、ならないのかしら？」

私「私が、薬飲まなくて、寝るのが遅れて、生活のペースが狂うと、せっかくなくなってきていた、統合失調症の症状が、また表れるようなことになって、そうなると、家族にとっても困るんだ」

結弦「統合失調症の症状って？」

私「極端な場合、妄想が酷くなって、入院、ということだけど、その前の段階で、私が、極端に心配性になって、くよくよ悩んだり、或いは、手も震えて、まともに字も書けないような状態になる」

麻友「今でも、そういう状態になるの？」

私「精神科に入院してから、劇的に減った」

結弦「手が震えるって、どうなるの？」

私「入院前のノートには、こういうのが、良くあった」

若菜「これは、酷いですねえ。読めるのですか？」

私「自分の字だから、一応読める。酷い部分だけ書き取ると、

『２０１２．１．１７　２１：１２「

　読者の言葉）

　今日、１３時４０分頃だったと思うが、冷蔵庫を開けたら
ランプがつかなかった。あれーっと思って部屋の電気をつけ
ても電気がつかない　ブレーカーは落ちてないしなと思い
ブレーカーをくぐって隣の部屋へ行ったころ　ガスの辺りでジーガー
という音がして、ああ４２℃の表示が出ていたところだな、と
思い、戻ってみると表示が消えていたので、電源ボタンを押
すと、４２℃とついた。停電だったのだ。
　ところが２０：４５のニュースで、停電は１６：４０頃だと報じ
られた。太郎の家は進んでいるのか？
　おかしくなってしまってずっとビデオをいじっていた。おかしくなるとどうしよ
うもない。今日はこれで堪忍えー。　　　　言葉終』

と、書いてある」

麻友「上の、数学を書いてある字と比べて、筆圧も、書体も、ボロボロね」

若菜「『堪忍えー。』って、冗談ですか？」

私「あの頃、NHK の連続テレビ小説で、『カーネーション』っていうのやってて、観てたからなんだ」

麻友「あっ、あれは、私も観てた。面白かったわよね」

結弦「これは、何の本を、読んでいるノート？」

私「新装版が出る前だけど、ルベーグ積分の本だ」

ルベーグ積分入門(新装版) (数学選書)

作者:清三, 伊藤
裳華房

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若菜「ああ、あの本ですね。それで、退院してお母さんに出会って、おかしくなることは、なくなったのですか？」

私「激減した。だが、２回だけ、おかしくなった。前にも書いたかも知れないけど、麻友さんのドラマ『いつかこの雨がやむ日まで』のエキストラに、参加した日の帰り道と、川崎のハローワークへ行って帰ってきた日との、２回だけ、おかしくなってる」

結弦「日付分かる？」

私「『いつ雨』は、２０１８年８月１０日。ハローワークは、２０１８年９月１４日」

麻友「それ以後、５年近く、安定しているの？」

私「私の記録は、厳しい。５年近く、おかしくは、なってない。だが、

『２０２２年８月１１日　CloudTeX で、NK'summary を書いていて、翌日の『熱力学』の予習をしなきゃと焦っていて、もう少しでおかしくなりそう、という状態になる』

という記述がある。そして、実は、今日この投稿で、過去のおかしくなった日のノートを、写したりした後、それが終わって、ネットニュースを見たら、『陸上自衛隊のヘリが、行方不明になったのは、他国に撃墜された可能性もある』と書いてあって、それを読んで、もう少しでおかしくなりそうだった」

麻友「えっ、さっきってこと？　どうして正常に戻れたの？」

私「私も、今までおかしくなるたびに、どういうときおかしくなるのだろうと、研究してきたんだよね。それで、

・何かで、焦っているとき

・お腹が空いているとき

この２つが、重なると、おかしくなり易いと、気付いているんだ」

若菜「今日の場合は？」

私「今日は、９時前に目覚めて、マックで、朝マックしているから、１０時半頃、朝食を食べている。そして、この投稿の、さっきの部分を、ノートを見ながら書き取ったりしていたのは、１６時頃だ。お腹が空いていても、おかしくない。そして、日本のヘリが、撃墜されたのだとすれば、日本まで戦争に巻き込まれるなんて、有り得ないと思うものの、焦りは感じる。もうちょっと行くと、おかしくなるのは必至だ」

結弦「このブログ書いてて、大丈夫なの？」

私「私も、ヤバいな、と思った。だけど、上にも書いただろう。お腹が空くとまずいんだ」

麻友「料理なんて、できるの？」

私「こういうときに、過去、ご飯炊いて、とか始めて、失敗したこともある。冷凍庫に、冷凍のスパゲティが、あるのを、思い出したんだ。あれなら、７分で、できる」

若菜「本当に、ミートソースのスパゲティ、食べてましたね」

私「危険が去った、と分かるのは、食べ終わったお皿を、流しに持って行って、水かけただけだったこと」

結弦「去ってないと？」

私「お皿洗おうと、スポンジに洗剤かけて、本当に一所懸命、洗っていたことだろう」

麻友「太郎さんらしいわね」

若菜「今日、超実数やる気、あるんですか？」

私「命題１つやる。始めるよ。頭切り換えて、

　１．１．９　命題

　無限集合 ${I}$ 上の超フィルター ${\mathscr{F}}$ に関するつぎの三条件は同値である．

　ａ） ${\mathscr{F}}$ は単項でない．

　ｂ） ${\mathscr{F}}$ はフレシェ・フィルター ${\mathscr{F}_0(I)}$ を含む．

　ｃ） ${\mathscr{F}}$ は有限集合を含まない．

　証明

　ａ） ${\Rightarrow}$ ｃ） ${\{a_1,\cdots,a_n \} \in \mathscr{F}}$ なら，前命題　ｄ）により，ある ${\{ a_i \}}$ が ${\mathscr{F}}$ に属するから ${\mathscr{F}}$ は単項である．（研究者注：対偶を証明している）

　ｃ） ${\Rightarrow}$ ｂ）前命題ｂ）による．

　ｂ） ${\Rightarrow}$ ａ） ${\mathscr{F}}$ が単項なら， ${I}$ の点 ${a}$ で， ${\{a \} \in \mathscr{F}}$ なるものがある． ${A=I - \{a \}}$ とすると， ${A \in \mathscr{F_0}(I)}$ だが， ${\mathscr{F}}$ はフィルターだから ${A \notin \mathscr{F}}$ ．（研究者注： ${A=I - \{a \}}$ の ${A}$ と、 ${\{ a \}}$ が、 ${\mathscr{F}}$ の元だと、フィルターなら、 ${A \cap \{a \} =\emptyset }$ が、 ${\mathscr{F}}$ の元となり、フィルターの条件に反する） ${\blacksquare}$