現在２０２３年３月２１日１０時１５分である。（この投稿は、ほぼ３１００文字）
麻友「太郎さん。最近は、一気に眠くなるわね」
私「以前は、ブログ書き上げてから、眠り薬飲んでいたけど、最近は、２１時頃、飲むようにしているからだ」
麻友「その方が、規則正しい生活になって、良いんでしょう？」
私「本当はね。ところで、昨日は、
と、なっているとき、
のように、マイナスが、外へ出せるかどうかが、問題だった」
麻友「どうすればいいかしら？」
私「実験してみると、いいよ」
麻友「 を、例えば、
として、 とする。今、マイナスを出して良いかだけを知りたいので、
としてみる。 だったとすると、この場合、
であるから、
となる。 は、どうなるんだろう。多分、
となるんでしょうね。元
でなく、
を要素とする集合、
となるのだったわね」
私「分かってるじゃない」
麻友「この と、
に関して、
を、やってみる。
あれっ？ は、何になるんだろ？」
私「 は、
と、
と、だったね」
麻友「 は、決めない。としちゃ、駄目かしら？」
私「そもそも、 は、全単射だった。この性質を、使えない？」
麻友「もし、 の行き先があるとしたら、
だけだけど」
私「 と、してみたら？ 上で、麻友さんも、そうだろうと、言っていた」
麻友「実験上よ、あくまでも、実験上。そうすると、 となる。そうすると、
と、
だから、
となる。
だったから、
と、
が、一致した。これ、実験成功ということ？」
私「苦労して計算したのが、一致すると、なんか、証明できたみたいに思うだろう」
麻友「なんか、納得するわね。これで、良いのかしら？」
私「取り敢えず、今は、マイナスを外に出せると、信じられるだろう。ベルンシュタインの定理の証明を、続けよう」
若菜「お母さんばっかり、褒められて」
結弦「依怙贔屓されてる」
麻友「まあ、実験に手間取ったのよ。どこからだったかしら？」
若菜「この絵を使って、 を、証明したいのでした」
私「この
が、今、分かったのだったな」
若菜「 は、どう表されるでしょう？」
私「 そのものでなく、
だな」
結弦「それは、 だったから、
としても、同じだね。絵を見ると」
若菜「それには、 が、抜けている」
麻友「結局、 ということね。
も、足されるからね」
若菜「 は、意味を考えると、
だった」
結弦「 は、上と同じように、
となる」
麻友「そうすると、 に、
と、
と、
とを、代入すると、
だから、証明されたんじゃない？」
若菜「あっ、そうか、 と、
の間に、全単射を作ればよくて、関数
は、全単射で、その一部
でも、全単射だから、
で、いいんだ」
結弦「これで、定理が、証明されたの？ なんという定理だっけ？」
私「Bernstein の定理 だ」
若菜「もう一度、ステートメントを」
私「集合 と、集合
の、部分集合の間に、全単射が、存在し、さらに集合
と、集合
の部分集合の間に、全単射が存在するとき、集合
と、集合
の間に、全単射が、存在する」
結弦「これによって、集合 の濃度が等しいことを、言うには、直接全単射を、作らなくとも、一方から、もう片方の部分集合への全単射を作り、その逆方向も、全単射を、作れば良いことに、なったんだね」
私「そういうことだ。大定理と言って良いだろう」
麻友「外へ、行った方が、いいわ。マックへ、行ってらっしゃい」
私「じゃあ、お開きとしよう」
若菜・結弦「バイバーイ」
麻友「じゃあね」
現在２０２３年３月２１日１３時３６分である。おしまい。
