倒せツォルンの補題（その８） - 女の人のところへ来たドラえもん

　現在２０２３年９月３日１１時２８分である。

麻友「証明するするって、言いながら、なかなかしないじゃない」

私「自分でも、完璧には分かっていない部分があって、８月２０日から、２５日近く、かかってしまった」

結弦「お父さんの言葉で、と言ったのが、無理だったの？」

私「本来、自分の本を書けるようになるためには、自分の言葉で書けなければ、ならないが、私はそこまで行ってない。テキストの本文を写しながら、自分の言葉で注を付けていくのが、限界だ」

若菜「それならば、しょうがないですね。お父さんの注を、頼りましょう」

私「よし、始めるよ」

　定理　５．１　（ツォルンの補題）

　 ${(a,\prec)}$ を、帰納的順序集合、 ${\alpha \in a}$ とすれば、 ${a}$ の極大元 ${\beta}$ で、 ${\alpha \prec \beta}$ となるものが存在する。

麻友「おもうんだけどさあ、 ${\alpha}$ と、 ${a}$ って、そっくりじゃない？　自分で、区別できているの？」

私「そういうことも、聞いて良い。確かに、 ${\alpha}$ と、 ${a}$ は、似てる。だけど、読んで行っているとき、 ${a}$ と、書いてあるときは、必ず順序集合 ${a}$ の元が、みたいに元を含む集合になっていて、一方、 ${\alpha}$ の方は、何々の元、 ${\alpha}$ みたいに、 ${\alpha}$ は、元の方だから、滅多に間違わない。ただ、初見だったら、分からないかも知れないけど」

結弦「僕も、聞いてみたい。 ${\prec}$ って、記号、なんて読むの？」

私「私は、個人的には、 ${\leqq}$ と同じで、 ${\alpha \prec \beta}$ を、『アルファ、小なり、ベータ』と、呼んでいる」

若菜「個人的には、って、カチャカチャ、あれっ？、カチャカチャ、あれっ？」

私「読み方は、なかなかないだろう」

若菜「お父さん。調べた？」

私「英語では、precede （プリシード）（先立つ）というらしい。逆向きの ${\succ}$ は、succeed （サクシード）（成功する、継ぐ）らしいが、日本語で何と読むかは、正式には知らない」

麻友「太郎さん。かなり我流の読み方、しているものね」

私「多くの人は、大学や大学院の授業で、盗んでいるのだろう」

若菜「お父さん、大学院へ行きたい？」

私「今は、無理だな。それに、今は、この本を読みたいというのはあっても、これを、研究したい、というものがない」

結弦「研究対象なんて、大学院へ行けば、見つかるんじゃない？　お父さんのお父様だって」

私「そういう意味では、前にも言ったが、コンピューターのスピードが、もの凄く上がって、計算できないものはない、という世界になったとき、それでも数学や物理学に残っている問題と、取り組みたいんだ」

麻友「そう言ってたわね。取り敢えず、証明始めましょう」

私「出だし、いきなり辛いだろうが、始める」

　定理　５．１の証明

　 ${\mathscr{C}=\{C \in \mathcal{P}(a) | \alpha \in C \wedge C}$ は ${a}$ の鎖 ${\}}$ とする． ${\{\alpha \} \in \mathscr{C}}$ である．定理の仮定によって， ${\mathscr{C}}$ の任意の元 ${C}$ に対して ${u.b.(C) \neq \emptyset}$ となる．