倒せツォルンの補題（その７） - 女の人のところへ来たドラえもん

　現在２０２３年８月２９日１１時０７分である。（この投稿は、ほぼ２２８８文字）

麻友「証明、始めるの？」

私「予備知識は、私と同じものを、麻友さんが持っていると、仮定する。ただ、あることが、本当かどうかは、物分かりの悪い人として、質問して欲しい」

若菜「不思議な関係ですが、そういう前提で、ツォルンの補題を、証明するのですね」

結弦「スキャン原稿にも、あるけど、ツォルンの補題のステートメントは？」

私「これだ。

　定理　５．１　（ツォルンの補題）

　 ${(a,\prec)}$ を、帰納的順序集合、 ${\alpha \in a}$ とすれば、 ${a}$ の極大元 ${\beta}$ で、 ${\alpha \prec \beta}$ となるものが存在する。

ところで、選択公理は、

　公理　（選択公理）

　集合 ${c}$ の元が、すべて ${\emptyset}$ でないとき、その ${c}$ のすべてから、ひとつずつ元を選んでくる写像 ${f:c \rightarrow \bigcup c}$ で、 ${x \in c}$ なら、 ${f(x) \in x}$ となっているものが、作れる。

というもの」

麻友「どうして、 ${\bigcup c}$ と、和集合を取るの？」

私「これは、説明を、分かり易くするためなんだ。 ${c}$ のすべてから、ひとつずつと、言ってるけど、１箇所にまとめておいたほうが、写像を作りやすい」

麻友「それで、 ${f(x) \in x}$ と、後で条件を付けるのね」

結弦「この説明で、分かる？」

若菜「分からない」

結弦「一体、どういう関数なの？」

私「そうか、慣れてないと、分からないよな」

${c=\{\{3,1,4\},\{2,7,1,8\},\{2,9,7,4\}\}}$

私「こういう集合 ${c}$ を、考えよう。この集合の選択関数は？」

結弦「１個ずつ持ってくるのだから、例えば、 ${\{1,7,9\}}$ とか？」

私「それは、１つずつ選択できたが、関数になってない」

麻友「こういう場合、関数を、どう書くの？」

私「これまで、サボってきたが、関数というものは、グラフで、書くんだ。

${\{(\{3,1,4\},1),(\{2,7,1,8\},7),(\{2,9,7,4\},9)\}}$

みたいに」

結弦「座標を書くみたいに、グラフの座標になっている点を、ピックアップするの？」

私「そう。私は、大学に入るまで、関数を、こういう風に書くことを、知らなかった。こんな書き方して、他の人分かるのか？　と思った。でも、やがて、慣れていった」

若菜「お父さんのしゃべる、数学語が、またひとつ、分かりましたね」

私「昨日、ここまで書いて、眠くなり、寝てしまった。ツォルンの補題を、１日で証明するのは、土台無理な話だった。今日は、もう眠いので、寝る。ただ、数学の証明に、女の人や子供の声が入るのを、脱線で、読みにくい、という人も、いるようだ。私の方法は、細かいギャップをつぶせて良いのだが、後から読み返すとき、麻友さんとの会話は、邪魔だろう。そこで、このブログで、徹底的に討論した後、他のそれぞれの分野のブログで、脱線なしの定理の証明を、記述しようと思う。また、よほどのことがない限り、１つの定理に、２通り以上の証明を、付けるように心掛ける。違う立場でも、証明できるかどうか、気になるところだからである」

麻友「定理の証明で、太郎さんが、分からないときは、どうするの？」

私「実際分からない部分があった場合、その定理は、使えない。だが、多くの人が、使っていて、正しそうな場合、どこが分からないかを明記した上で、使っても良いこととしよう」

若菜「ブルバキの『数学原論』みたいなものを、作ろうとしているのですか？」

私「私は、もうひとつ、ランダウとリフシッツの『理論物理学教程』を抱えている。数学ばっかりやっていると、つまらなくなる。ランダウを読みたい。だが、いきなりは、無理だ。今、特に、量子力学に興味が向いている。グライナーから、始めるかな」

結弦「読みたがっていた、『力学の基礎』は？」

私「読みたいねえ。でも、麻友さん達の前で、レポーターが、できるかな？」

麻友「数学の定理の証明、グライナー、『力学の基礎』、これで、手一杯ね」

私「ところで、私は、一般相対論を学ぶのに、