女の人のところへ来たドラえもん

21歳の女の人と43歳の男の人が意気投合し、社会の矛盾に科学的に挑戦していく過程です。                    ブログの先頭に戻るには、表題のロゴをクリックして下さい。                                   数式の変形。必ずひと言、添えてよ。それを守ってくれたら、今後も数学に付き合ってあげる。

体積素片ってどう計算する?(その2)

 現在2024年4月13日19時07分である。(この投稿は、ほぼ8107文字)

麻友「かなり、腕力のいる、計算だったみたいね」

私「丁寧にやって行けば、絶対成功するという確信がなかったら、途中で挫けてしまうだろう」

若菜「お父さんは、どうして、やり切れたのですか?」

私「以前、これと同じ計算を、成功させていたからだ」

結弦「どうして、そのときは、成功できたのだろう?」

私「以前というのは、2015年のことだ。父と、超伝導のゼミをやろうと思い、ランダウを読もうと考えた。麻友さんと会う前の2015年1月から3月末までの、もの凄い躁状態で、父に説明している積もりで、計算した。何でも出来るような躁状態だったから、計算もほとんど間違わず、最後までたどり着いた」

麻友「計算を辿る方も、絶対成功すると、思っていないと、挫けるのね」


結弦「やってみよう。まず、前提となる、昨日までの計算で、

{\displaystyle dxdydz=dx \wedge dy \wedge dz}

で、

{\displaystyle x=r \sin{\theta} \cos{\varphi}}

{\displaystyle y=r \sin{\theta} \sin{\varphi}}

{\displaystyle z=r \cos{\theta}}

という座標変換をするのだが、これをひとまず、

{\displaystyle dx \wedge dy \wedge dz =d (r \sin{\theta} \cos{\varphi}) \wedge d(r \sin{\theta} \sin{\varphi}) \wedge d(r \cos{\theta})}

とする。ここまでは、良いよね」


若菜「今日は、ここから。ひとつ、ひとつが、

{\displaystyle dx=\sin{\theta} \cos{\varphi}dr+r\cos{\theta}\cos{\varphi} d\theta-r\sin{\theta}\sin{\varphi} d\varphi}

{\displaystyle dy=\sin{\theta} \sin{\varphi}dr+r\cos{\theta}\sin{\varphi} d\theta+r\sin{\theta}\cos{\varphi} d\varphi}

{\displaystyle dz=\cos{\theta}dr-r\sin{\theta} d \theta }

となる。{dz} だけ、書き加えた」

麻友「これを、{\wedge} が、交代多重線形形式だということを利用して、計算する。

{\displaystyle dx \wedge dy \wedge dz =\sin{\theta} \cos{\varphi}dr+r\cos{\theta}\cos{\varphi} d\theta-r\sin{\theta}\sin{\varphi} d\varphi}

{\displaystyle \wedge \sin{\theta} \sin{\varphi}dr+r\cos{\theta}\sin{\varphi} d\theta+r\sin{\theta}\cos{\varphi} d\varphi}

{\displaystyle \wedge \cos{\theta}dr-r\sin{\theta} d \theta }

{dz} は、取り敢えず置いておいて、前の、{\wedge} に、多重線形性を施して、

{\displaystyle \biggl( (\sin{\theta} \cos{\varphi}dr ) \wedge (\sin{\theta} \sin{\varphi}dr+r\cos{\theta}\sin{\varphi} d\theta+r\sin{\theta}\cos{\varphi} d\varphi )}

{\displaystyle +(r\cos{\theta}\cos{\varphi} d\theta ) \wedge (\sin{\theta} \sin{\varphi}dr+r\cos{\theta}\sin{\varphi} d\theta+r\sin{\theta}\cos{\varphi} d\varphi )}

{\displaystyle +(- r\sin{\theta}\sin{\varphi} d\varphi ) \wedge (\sin{\theta} \sin{\varphi}dr+r\cos{\theta}\sin{\varphi} d\theta+r\sin{\theta}\cos{\varphi} d\varphi ) \biggr)}

{\displaystyle \wedge (\cos{\theta}dr-r\sin{\theta} d \theta)}

と、分配する。やってみる?」

結弦「うん。

{\displaystyle (\sin{\theta} \cos{\varphi}dr ) \wedge (\sin{\theta} \sin{\varphi}dr+r\cos{\theta}\sin{\varphi} d\theta+r\sin{\theta}\cos{\varphi} d\varphi )}

のところを、やってみよう。分配すると、

{\displaystyle (\sin{\theta} \cos{\varphi}dr ) \wedge (\sin{\theta} \sin{\varphi}dr+r\cos{\theta}\sin{\varphi} d\theta+r\sin{\theta}\cos{\varphi} d\varphi )}

のうち、

{\displaystyle (\sin{\theta} \cos{\varphi}dr \wedge \sin{\theta} \sin{\varphi}dr )}

という部分が、現れる。これは、交代形式の性質から、{dr \wedge dr=0} と、なるな。だから、

{\displaystyle (\sin{\theta} \cos{\varphi}dr ) \wedge (r\cos{\theta}\sin{\varphi} d\theta+r\sin{\theta}\cos{\varphi} d\varphi )}

と、縮む。もちろん、後ろに、{\displaystyle \wedge (\cos{\theta}dr-r\sin{\theta} d \theta)} が、付いている」

若菜「私も、やってみる。

{\displaystyle +(r\cos{\theta}\cos{\varphi} d\theta ) \wedge (\sin{\theta} \sin{\varphi}dr+r\cos{\theta}\sin{\varphi} d\theta+r\sin{\theta}\cos{\varphi} d\varphi )}

の部分を、結弦と同様、{d\theta \wedge d\theta =0} を、利用して、

{\displaystyle +(r\cos{\theta}\cos{\varphi} d\theta ) \wedge (\sin{\theta} \sin{\varphi}dr+r\sin{\theta}\cos{\varphi} d\varphi )}

と、縮められる」

麻友「私も、

{\displaystyle (- r\sin{\theta}\sin{\varphi} d\varphi ) \wedge (\sin{\theta} \sin{\varphi}dr+r\cos{\theta}\sin{\varphi} d\theta+r\sin{\theta}\cos{\varphi} d\varphi )}

の部分を、{d\varphi \wedge d\varphi =0} を利用して、

{\displaystyle (- r\sin{\theta}\sin{\varphi} d\varphi ) \wedge (\sin{\theta} \sin{\varphi}dr+r\cos{\theta}\sin{\varphi} d\theta)}

と、縮められる」

私「1個ずつ、チマチマやってないで、大幅に削れよな」

麻友「だって、・・・」

私「今までで、どうなった?」

麻友「

{\displaystyle (\sin{\theta} \cos{\varphi}dr ) \wedge (r\cos{\theta}\sin{\varphi} d\theta+r\sin{\theta}\cos{\varphi} d\varphi )}

{\displaystyle +(r\cos{\theta}\cos{\varphi} d\theta ) \wedge (\sin{\theta} \sin{\varphi}dr+r\sin{\theta}\cos{\varphi} d\varphi )}

{\displaystyle +(- r\sin{\theta}\sin{\varphi} d\varphi ) \wedge (\sin{\theta} \sin{\varphi}dr+r\cos{\theta}\sin{\varphi} d\theta)}

もちろん、後ろに、{\displaystyle \wedge (\cos{\theta}dr-r\sin{\theta} d \theta)} が、付いている」


私「たくさん、似たようなものがある場合、紛らわしいから、表のようなものを作ると良いこともある。第1行を、{dr} を、後ろに持って行って、

{(\displaystyle \sin{\theta} \cos{\varphi}) ・(r\cos{\theta}\sin{\varphi}) (dr \wedge d\theta) }

{\displaystyle +(\sin{\theta} \cos{\varphi} )・( r\sin{\theta}\cos{\varphi} )(dr \wedge d\varphi )}

こういう計算は、許される」

麻友「どうして、前の {\wedge} は、消えるの?」

私「交代形式という役目を、後ろの {dr} の方に、任せてあるからだよ」

麻友「そうなのか、ちょっと分からないけど」

私「大丈夫。2行目、やってみるか?」

結弦「やってみる。

{\displaystyle +(r\cos{\theta}\cos{\varphi}  ) (\sin{\theta} \sin{\varphi}) (d\theta \wedge dr)}

{\displaystyle +(r\cos{\theta}\cos{\varphi}  )( r\sin{\theta}\cos{\varphi} )(d\theta \wedge d\varphi )}

と、なる」

若菜「3行目、やってみる。

{\displaystyle (- r\sin{\theta}\sin{\varphi} ) ( \sin{\theta} \sin{\varphi}) (d\varphi \wedge dr)}

{\displaystyle +(- r\sin{\theta}\sin{\varphi} ) (r\cos{\theta}\sin{\varphi}) (d\varphi \wedge d\theta)}

となる」

私「これ、同じところを、{\displaystyle \sin{\theta} \times \sin{\theta} =\sin^2{\theta}} みたいに、まとめてご覧」

麻友「でも、もう遅いんじゃない? 次回に、回さない?」


私「分かった。今日の結論をまとめると、

{(\displaystyle \sin{\theta} \cos{\varphi}) ・(r\cos{\theta}\sin{\varphi}) (dr \wedge d\theta) }

{\displaystyle +(\sin{\theta} \cos{\varphi} )・( r\sin{\theta}\cos{\varphi} )(dr \wedge d\varphi )}

{\displaystyle +(r\cos{\theta}\cos{\varphi}  ) (\sin{\theta} \sin{\varphi}) (d\theta \wedge dr)}

{+(r\cos{\theta}\cos{\varphi}  )( r\sin{\theta}\cos{\varphi} )(d\theta \wedge d\varphi )}

{\displaystyle +(- r\sin{\theta}\sin{\varphi} ) ( \sin{\theta} \sin{\varphi}) (d\varphi \wedge dr)}

{+(- r\sin{\theta}\sin{\varphi} )(r\cos{\theta}\sin{\varphi}) (d\varphi \wedge d\theta)}

もちろん、後ろに、{\displaystyle \wedge (\cos{\theta}dr-r\sin{\theta} d \theta)} が、付いている。いいな」



 現在2024年4月14日21時11分である。再開」

麻友「昨日、投稿しなかったの?」

私「もの凄い、睡魔に襲われるんだ。躁状態の人間を、眠らせるのだから、もの凄い睡眠薬だ」

結弦「お父さんのヒントの通り、


{(\displaystyle \sin{\theta} \cos{\varphi}) ・(r\cos{\theta}\sin{\varphi}) (dr \wedge d\theta) }

{\displaystyle +r・(\sin^2{\theta} \cos^2{\varphi} )(dr \wedge d\varphi )}

{\displaystyle +(r\cos{\theta}\cos{\varphi}  ) (\sin{\theta} \sin{\varphi}) (d\theta \wedge dr)}

{+(r\cos{\theta}\cos^2{\varphi}  )( r\sin{\theta} )(d\theta \wedge d\varphi )}         (表)

{\displaystyle (- r\sin^2{\theta}\sin^2{\varphi} )  (d\varphi \wedge dr)}

{+(- r\sin{\theta}\sin^2{\varphi} ) (r\cos{\theta} )(d\varphi \wedge d\theta)}


と、まとめたけど、{d\varphi \wedge d\theta=- d\theta \wedge d\varphi} に、気付いた」

私「表の段ごとに、計算すると?」

結弦「

{\displaystyle +(r\cos{\theta}\cos^2{\varphi}  )( r\sin{\theta} )(d\theta \wedge d\varphi )}

と、

{\displaystyle +(- r\sin{\theta}\sin^2{\varphi} )(r\cos{\theta}) (d\varphi \wedge d\theta)}

で、下の式が、

{\displaystyle +( r^2 \sin{\theta} \cos{\theta}\sin^2{\varphi}  ) (d\theta  \wedge d\varphi )}  式(*)

となるので、上の式を、

{\displaystyle +(r^2 \sin{\theta}\cos{\theta}\cos^2{\varphi}  )(d\theta \wedge d\varphi )}

と、変形する。そして式(*)を加えると、

{\displaystyle +(r^2 \sin{\theta}\cos{\theta}\cos^2{\varphi}  )(d\theta \wedge d\varphi) }

{\displaystyle + (r^2 \sin{\theta} \cos{\theta}\sin^2{\varphi}  ) (d\theta  \wedge d\varphi )}

となるので、

{\displaystyle = r^2 \sin{\theta}\cos{\theta}\biggl\{\sin^2{\varphi}+\cos^2{\varphi} \biggr\}(d\theta \wedge d\varphi) }

となる。こんな場合でも、{\sin^2{\varphi}+\cos^2{\varphi}=1} を、使って良いのかな?」

私「結弦の数学では、どうなっている?」

結弦「{\varphi} が、複素数でも、{\sin^2{\varphi}+\cos^2{\varphi}=1} は、成り立つんだよね」

私「そうだ」

結弦「じゃあ、この場合も、成立する」

麻友「『人の命を、救おうって言っているときに、目の前のメスやピンセットが、思い通りに動かない、なんてことになったら、困るんだよ』と、言っていた、太郎さんの気持ちが、分からないではないけど」

若菜「こういう状況ですか? どこまで、適用限界を広げられるか、分かっていなければならないんですね」

私「もう、眠いな。今日で終わるかと思っていたが、無理か?」

麻友「急ぐの?」

私「明日、通院なんだ。多分、入院はしないだろうけど、入院すると、連載が止まっちゃう」

麻友「大丈夫よ。睡眠を沢山取る方が、重要だわ」

私「そうか」

若菜・結弦「おやすみなさーい」

麻友「おやすみ」

私「おやすみ」

 現在2024年4月14日23時33分である。おしまい。