女の人のところへ来たドラえもん

21歳の女の人と43歳の男の人が意気投合し、社会の矛盾に科学的に挑戦していく過程です。                    ブログの先頭に戻るには、表題のロゴをクリックして下さい。                                   数式の変形。必ずひと言、添えてよ。それを守ってくれたら、今後も数学に付き合ってあげる。

体積素片ってどう計算する?(その3)

 現在2024年4月15日18時08分である。(この投稿は、ほぼ5804文字)

麻友「病院に、入院には、ならなかったわね」

私「いくつか、付いていないことがあって、早く帰ってきた」

結弦「どんなこと?」

私「一応、10時半頃には起きて、シャワーを浴びた。私が精神科のために病院に行く日は、まず降らないというジンクス通り、今日もピカピカ天気。だが、11時15分に出て、面接が、12時40分だから、花月総持寺で、ワンダモーニングショットを、のんびり飲んでいる暇はなく、そのまま、病院へ。すべて時間通り行って、番号が呼ばれたのは、12時40分ぴったり。余裕がないと、思うかも知れないが、話すことは、あまりなかった。精神科の先生なのに、足が吊るときのための薬が効かない、などと話していたり、3月26日で30歳になったんです、などと話していたが、結局、12時48分に終わった。持ち時間は、いつも10分から20分もらっているのだが」

若菜「付いてなかったというのは?」

私「診察後に、昼食になったことが、原因のひとつなのだろうが、今日は、3カ月に1回の採血検査。それで、診察後、血液検査と昼食と、どちらを先にしようかと思ったが、お腹が空いていたので、先に食堂で、カツ丼を、食べた」

麻友「そのカツ丼は、絶対保証されているのよね」

私「本来、ビッグマックセットだって、750円なのだが、カツ丼980円は、必ず軍資金が下りる。ご飯粒も残さずに食べて、採血検査に向かった。重要なことは、私の、血液が固まりやすい性質を持っているので、血液サラサラのための、バイアスピリン100mg という薬を飲んでいることなのだ。検査をした人が、『血液が固まりにくいとか、ありますか?』と、言うので、『バイアスピリンを、飲んでいます』と、答えた。『じゃあ、これ貼っておきますから、包帯は、1時間は、取らないで下さいよ』と、言われた。その後、会計に並び、自立支援医療の受給者証に、記帳して貰って、薬局へ行ったから、とっくに1時間以上、経っている。ただ、私は、普通面倒だから、包帯は、家に帰るまで取らないのだ。薬局で、つい気になって、包帯を取った、血は滲んでなかった。それで、貼ってあった小さいシールも、剥がした。そこで、順番を呼ばれ、薬を受け取ってくる。何でも無いはずだったのに、リュックを持ったとき、血管に圧力がかかり、血液が出てきてしまったのだ。これさえなければ、付いてなかったなんて、書かなかったのに」

結弦「結局、早く起きて、病院で、診察前に、朝食食べるくらい、ゆとりを持っていれば、余計な失敗をしなかったんじゃない」

麻友「ちょっと、もう1111文字も書いている。数学やらなければ!」

私「そうだったな。これまでの前提は、

{\displaystyle dxdydz=dx \wedge dy \wedge dz}

を、以下のように座標変換する。

{\displaystyle x=r \sin{\theta} \cos{\varphi}}

{\displaystyle y=r \sin{\theta} \sin{\varphi}}

{\displaystyle z=r \cos{\theta}}


{\displaystyle dx \wedge dy \wedge dz =d (r \sin{\theta} \cos{\varphi}) \wedge d(r \sin{\theta} \sin{\varphi}) \wedge d(r \cos{\theta})}

連鎖律(れんさりつ)を用いて、

{\displaystyle df=\frac{\partial f}{\partial x} dx +\frac{\partial f}{\partial y} dy +\frac{\partial f}{\partial z} dz}


という計算が出来る。

{\displaystyle dx=(\sin{\theta} \cos{\varphi})dr+r\cos{\theta}\cos{\varphi} d\theta-r\sin{\theta}\sin{\varphi} d\varphi}


{\displaystyle dy=\sin{\theta} \sin{\varphi}dr+r\cos{\theta}\sin{\varphi} d\theta+r\sin{\theta}\cos{\varphi} d\varphi}


{\displaystyle dz=d(r \cos{\theta})=\cos{\theta}dr+r\frac{\partial \cos{\theta}}{\partial \theta} d \theta }

{\displaystyle =\cos{\theta}dr-r\sin{\theta} d \theta }



交代形式という性質や、多重線形形式という性質を用いて、


{\displaystyle +(r\cos{\theta}\cos^2{\varphi}  )( r\sin{\theta} )(d\theta \wedge d\varphi )}

と、

{\displaystyle +(- r\sin{\theta}\sin^2{\varphi} )(r\cos{\theta}) (d\varphi \wedge d\theta)}

という式で、下の式が、

{\displaystyle +( r^2 \sin{\theta} \cos{\theta}\sin^2{\varphi}  ) (d\theta  \wedge d\varphi )}  式(*)

となるので、上の式を、

{\displaystyle +(r^2 \sin{\theta}\cos{\theta}\cos^2{\varphi}  )(d\theta \wedge d\varphi )}

と、変形する。そして式(*)を加えると、

{\displaystyle +(r^2 \sin{\theta}\cos{\theta}\cos^2{\varphi}  )(d\theta \wedge d\varphi) }

{\displaystyle + (r^2 \sin{\theta} \cos{\theta}\sin^2{\varphi}  ) (d\theta  \wedge d\varphi )}

となるので、

{\displaystyle = r^2 \sin{\theta}\cos{\theta}\biggl\{\sin^2{\varphi}+\cos^2{\varphi} \biggr\}(d\theta \wedge d\varphi) }


となる。こんな場合でも、{\sin^2{\varphi}+\cos^2{\varphi}=1} を、使えるので、


{\displaystyle = r^2 \sin{\theta}\cos{\theta}(d\theta \wedge d\varphi) }      式($)


が、得られる」

私「表の残り4つも、残りの2つずつキャンセルすることは、想像に難くないな」

麻友「ここまで来ると、数学が、楽しいと思えるというのも、分かるわね」

若菜「表を持ってくると、


{(\displaystyle \sin{\theta} \cos{\varphi}) ・(r\cos{\theta}\sin{\varphi}) (dr \wedge d\theta) }

{\displaystyle +r(\sin^2{\theta} \cos^2{\varphi} )(dr \wedge d\varphi )}

{\displaystyle +(r\cos{\theta}\cos{\varphi}  ) (\sin{\theta} \sin{\varphi}) (d\theta \wedge dr)}

{+(r\cos{\theta}\cos^2{\varphi}  )( r\sin{\theta} )(d\theta \wedge d\varphi )}         (表)

{\displaystyle (- r\sin^2{\theta}\sin^2{\varphi} )  (d\varphi \wedge dr)}

{+(- r\sin{\theta}\sin^2{\varphi} ) (r\cos{\theta} )(d\varphi \wedge d\theta)}


と、なっていたけど、4段目と6段目だけ、取り敢えずまとめた。{d\varphi \wedge d\theta=- d\theta \wedge d\varphi} に、気付いたから」

麻友「次は、表の1段目と、3段目ね。{d\theta \wedge dr=- dr \wedge d\theta} を、使って」

{(\displaystyle \sin{\theta} \cos{\varphi}) ・(r\cos{\theta}\sin{\varphi}) (dr \wedge d\theta) }

{\displaystyle -(r\cos{\theta}\cos{\varphi}  ) (\sin{\theta} \sin{\varphi}) (dr \wedge d\theta)}

結弦「反転させるだけじゃ、駄目なんだよ。三角関数をまとめなきゃ」

麻友「分かってるわ」

{(\displaystyle r\sin{\theta} \cos{\theta}\cos{\varphi}\sin{\varphi}) (dr \wedge d\theta) }

{\displaystyle -(r\sin{\theta}\cos{\theta}\cos{\varphi}\sin{\varphi}) (dr \wedge d\theta)}

麻友「あれっ? これ、このまま、ビンゴじゃない? 上と下、同じだから、交代形式としてじゃなく、マイナスで、ゼロよ」

若菜「お父さん。今回は、厳しいなあと思ってたら、最後に、華をもたせてくれた。2段目と5段目」

{\displaystyle +r(\sin^2{\theta} \cos^2{\varphi} )(dr \wedge d\varphi )}

{\displaystyle (- r\sin^2{\theta}\sin^2{\varphi} )  (d\varphi \wedge dr)}

若菜「{d\varphi \wedge dr=- dr \wedge d\varphi} だから、

{\displaystyle +(r\sin^2{\theta} \cos^2{\varphi} )(dr \wedge d\varphi )}

{\displaystyle +( r\sin^2{\theta}\sin^2{\varphi} )  (dr \wedge d\varphi)}

これで、止まらない。係数を因数分解して、

{\displaystyle (r\sin^2{\theta} \biggl\{\cos^2{\varphi}+\sin^2{\varphi} \biggr\} )(dr \wedge d\varphi )}

結弦の数学と同じとして良いだろうから、

{\displaystyle \biggl\{\cos^2{\varphi}+\sin^2{\varphi} \biggr\}=1}

よって、

{\displaystyle (r\sin^2{\theta} )(dr \wedge d\varphi )}

となる」

私「若菜、ぬか喜びだったな。まだ、{dz} の計算が、残っているんだ」

若菜「そうか」

私「丁寧に書くと、

{\displaystyle dz=\cos{\theta}dr-r\sin{\theta} d \theta }

だったから、

{\displaystyle = r^2 \sin{\theta}\cos{\theta}(d\theta \wedge d\varphi) }     式($)

と、

{\displaystyle (r\sin^2{\theta} )(dr \wedge d\varphi )}

という生き残りから、

{\displaystyle dxdydz=dx \wedge dy \wedge dz}

{\displaystyle = \biggl(r^2 \sin{\theta}\cos{\theta}(d\theta \wedge d\varphi) }

{\displaystyle +(r\sin^2{\theta} )(dr \wedge d\varphi )\biggr) \wedge (\cos{\theta}dr-r\sin{\theta} d \theta) }


を、計算すれば良いのだが、もう眠い。続きは次回とする。解散」

 現在2024年4月15日23時26分である。おしまい。