超実数そして実数（その１１） - 女の人のところへ来たドラえもん

　現在２０２３年３月１９日１５時２０分である。（この投稿は、ほぼ４７８８文字）

麻友「リターンマッチね」

私「本気でやるぞー。

　定義　　対等

集合 ${A}$ と、 ${B}$ の間に、全単射の写像があるとき、 ${A ～ B}$ （ＡたいとうＢ）と書いて、 ${A}$ と、 ${B}$ は、対等であると言う。等濃度であるとも言う。

　定理（ベルンシュタインの定理）

　集合 ${X,Y}$ に対し、 ${U \subset Y}$ と、 ${V \subset X}$ で、 ${X ～ U}$ であり、 ${Y ～ V}$ である、 ${U,V}$ が存在すれば、 ${X ～ Y}$ である。

証明したいのは、これだ。昨日のスキャン原稿を、もう一度持ってくると、

だったな」

私「８３８ページの下の絵を参考にしながら、まず、集合 ${X}$ の方から、 ${Y}$ への全単射、 ${f:X \to U}$ を、考える。 ${Y}$ の方で、太い線になっている ${U}$ への関数が、 ${f}$ だ」

私「次に、集合 ${Y}$ の方から、 ${X}$ への全単射、 ${g:Y \to V}$ を、考える。 ${X}$ の方で、太い線になっている ${V}$ への関数が、 ${g}$ だ」

私「ここまで、大丈夫か？」

若菜「一応、分かってます」

私「では、関数 ${g}$ で、 ${Y}$ の元を、写すのではなく、 ${Y}$ の全部の元を写した集合を、 ${g(Y)}$ と、書くことにすると・・・」

結弦「なんで、そんな、紛らわしいことを、するの？」

私「これは、数学での慣習なんだよ。元を写しているのか、集合を写しているのかは、慣れれば、すぐ分かる」

麻友「確かに、難しさ３．ね。手加減なし」

私「関数 ${g}$ で、 ${Y}$ の全部の元を写した集合を、 ${g(Y)}$ と、書くことにすると、スキャンした絵で、

${A_0 =X-g(Y)}$

と、なっている」

結弦「分かるけどさ、もう少し絵を大きく描いて欲しかった」

私「済まない。さて、次に、

${B_0 =Y-f(X)}$

とおく」

結弦「今回も、集合を写しているの？」

私「そう。文脈で、分かるだろう」

結弦「まあ、そうだな」

私「ここから、難しくなる。ダッシュ、あるいは、プライムが、付いたものと、付いていないものが、交互に現れる。

${A_0’ =f(A_0)}$ と、定義し、 ${B_0’=g(B_0)}$ と、定義する。

次に、

${A_1 =f(A_0’)}$ と、定義し、 ${B_1=g(B_0’)}$ と、定義する。

以下どんどん、定義して、

${A_{n+1}=g(A_n’)}$ と、 ${B_{n+1}=f(B_n’)}$

${A_{n+1}’=f(A_{n+1})}$ と、 ${B_{n+1}’=g(B_{n+1})}$

と、帰納的に、定める」

麻友「わーっ、全然分からない。太郎さん書いてて、分かっているの？」

私「こういうものは、ある程度、写して、一般的な式になってから、大丈夫かな？　と、チェックするんだ。私だって、書いている最中は、分かってない」

若菜「結局分からないんじゃないか？　なんて、心配にならないんですか？」

私「だから、信頼できる人の書いた本であることが、望ましいということになる。この後、やってみせる。まず、 ${n=0}$ とする。

${A_1=g(A_0’)}$ と、 ${B_1=f(B_0’)}$

${A_1’=f(A_1)}$ と、 ${B_1’=g(B_1)}$

これ見て、どう思う？」

若菜「上の２式は、『以下どんどん定義して』の言葉の上の２式と同じです」

私「そうだな。下の２式は、行き過ぎだな、 ${n=-1}$ と、すれば、良かった」

${A_0’=f(A_0)}$ と、 ${B_0’=g(B_0)}$

私「と、すると？」

結弦「『次に』の上の式になった」

私「だから、 ${n}$ の最初の方は、定義通りなんだよ。後は、これが、well-defined であることを、証明する必要がある」

麻友「well-defined ？　こんなの、どうやって」

私「良い例だから、丁寧に、やってみよう。

${A_0 =X-g(Y)}$ と、 ${B_0 =Y-f(X)}$

だった。そして、

${A_0’ =f(A_0)}$ と、定義し、 ${B_0’=g(B_0)}$ と、定義した。

　この後、

${A_{n+1}=g(A_n’)}$ と、 ${B_{n+1}=f(B_n’)}$

${A_{n+1}’=f(A_{n+1})}$ と、 ${B_{n+1}’=g(B_{n+1})}$

と、なるのだった。もう一度スキャン原稿を持って来て、

ああ、この絵じゃ、分からない」

麻友「太郎さんの描きたい絵、描いてあげましょうか。

♪ キュアップラパッパ、はい！」

結弦「えっ、何、今の？　魔法！？」

若菜「お母さんのソロ曲に、『正しい魔法の使い方』っていうのが、ありました。お母さんは、魔法使いプリキュアの一員でしたね」

麻友「太郎さんの描きたい絵だから、あんなに下手なのよ。私だったら、もっと上手く描けるけどね」

私「これで、十分。これで、分かるように、 ${A_0}$ に、 ${f}$ そして、 ${g}$ と、行って戻ったものが、 ${A_1}$ になっている。一方、 ${A_0}$ を、 ${f}$ で、写したものが、 ${A_0’}$ だ。ところで、 ${B}$ の方も、同様。 ${B_0}$ に、 ${g}$ そして、 ${f}$ と、行って戻ったものが、 ${B_1}$ になっている」

麻友「そう、都合良く、隙間なく、並ぶのかしら？」

私「隙間に取り残されたような元は、どんどん右の方に、押しやられていく」

麻友「あっ、そういうこと？」

私「ここで、数学の証明で、よくやるんだけど、

$A=\bigcup_{n \in \omega} A_n, B=\bigcup_{n \in \omega} B_n,A’=\bigcup_{n \in \omega} A_n’,B’=\bigcup_{n \in \omega} B_n’$

と、おいて、

${C=X-A-B’,C’=Y-B-A’}$

とすると、この、 ${C}$ と、 ${C’}$ が、右に追いやられて、最後まで残ってしまったものだ」

若菜「その、残ったもの同士は、同じ個数なんですかね？」

私「私のスキャン原稿を、見よう」

私「まず、定理の仮定から、 ${f}$ も、 ${g}$ も、全単射だから、特に単射で、 ${A_0’=f(A_0)}$ などという場合、 ${A_0’}$ と、 ${A_0}$ との個数は、無限大の場合も含めて、同じ個数である」

結弦「そうすると、

${|A_0|=|A_0’|=|A_1|=|A_1’|=|A_2|=|A_2’|=\cdots}$

となるんだ。だって、単射なんだもん」

若菜「だとすると、

${|B_0|=|B_0’|=|B_1|=|B_1’|=|B_2|=|B_2’|=\cdots}$

ですね」

私「ここで、トリックを使う。

${C=X-A-B’}$

なんだろ。だから、

${X=A+B’+C}$

　同様に、

${C’=Y-B-A’}$

だったんだから、

${Y=A’+B＋C’}$

だ」

結弦「どう、トリック？」

私「まず、

${X=A+B’+C}$

で、

$A=\bigcup_{n \in \omega} A_n$

だから、 ${f}$ が、全単射であることより、

$f(A)=f(\bigcup_{n \in \omega} A_n)=\bigcup_{n \in \omega} f(A_n)=\bigcup_{n \in \omega} A_n’=A’$

となる」

麻友「わかんなーい」

私「一つ目の等号は、いいな。二つ目は、 ${f}$ と、 $\bigcup_{n \in \omega}$ の交換。和集合取ってから、 ${f}$ で、写すのも、写してから和集合取るのも、同じだと言うこと。三つ目の等号は、 ${f(A_n)=A_n’}$ という定義。四つ目の等号は、 $A’=\bigcup_{n \in \omega} A_n’$ という、 ${A’}$ の定義を、使ったんだ」