倒せツォルンの補題（その２） - 女の人のところへ来たドラえもん

　現在２０２３年８月２１日１１時３７分である。（この投稿は、ほぼ５５１２文字）

麻友「昨日は、何時に寝たの？」

私「２１時２７分に、寝る前の薬のメールを、送っている。でも、眠ったのは、２２時半頃だったんじゃないかな？」

若菜「はっきりしないのですか？」

私「人間、眠りに落ちた瞬間というのは、覚えていないものだろう」

結弦「そうかもね」

麻友「今日、起きたのは？」

私「８時５７分に、一度起きている。朝の薬も飲んだが、また眠くて寝て、１１時１分に、起きた」

麻友「太郎さんは、１０時間以上、寝た方が、良いのかもね」

私「１日が、短くなっちゃうけどね」

結弦「それで、ツォルンの補題、倒すの？」

私「昨日の、順序と、全順序は、分かった？」

若菜「一応、分かったと思いますけど、まだ、定義があるのですか？」

私「あるんだ。

　定義　極大元　最大元 (maximal,maximum)

　ある順序集合 ${a}$ で、元 ${x}$ に、 ${x \prec b}$ となる、 ${b \in a}$ が、存在しないとき、 ${x}$ は、順序集合 ${a}$ の極大元であるという。もし、任意の ${b}$ について、 ${b \prec x}$ なら、 ${x}$ は、順序集合 ${a}$ の、最大元であるという。

と、定める」

結弦「マキシマルっていうのと、マキシマムっていうのが、あるんだ。最大元は、分かるけど、極大元というのは？」

私「辞書を引いてみると、英語では、極大と最大が、ごっちゃになっていて、文脈で判断するみたい」

若菜「具体例を、見せて」

私「これくらいが、自分で具体例作れないと、困るんだが、昨日の、 ${\{1,2,3\}}$ の部分集合の話を、思い出してよ。これでは、

${\{1,2\} \subset \{1,2,3\}}$ , ${\{2,3\} \subset \{1,2,3\}}$ , ${\{1,3\} \subset \{1,2,3\}}$

だったし、

${\{1\} \subset \{1,2\}}$ , ${\{2\} \subset \{2,3\}}$ , ${\{3\} \subset \{1,3\}}$

だったから、 ${\emptyset \subset \{1,2,3\}}$ も含めて、 ${\{1,2,3\}}$ が、最大元だな」

麻友「それが、分からないのよ。なぜ、 ${\emptyset \subset \{1,2,3\}}$ なの？」

若菜「さすが、お母さん。一番聞きたかったことを、聞いてくれた」

私「えっ、ここで、躓いてる？　そうなのか、そういうレヴェルなんだな。まず、『 ${A \subset B}$ 』の定義は、

${A \subset B \Leftrightarrow \forall_x (x \in A \Rightarrow x \in B)}$

なんだ」

麻友「 ${\emptyset \subset \{1,2,3\}}$ で、 ${\emptyset}$ に、元はありません」

私「 ${(x \in A \Rightarrow x \in B)}$ で、 ${\Rightarrow}$ の前件が、偽だったら？」

麻友「あっ、ならばの命題で、前件が偽だったら、その命題は、真なのだった」

若菜「お母さん、凄い。聞きにくかったことを、聞きだしてくれた」

結弦「そうすると、『 ${\emptyset \subset \{1,2,3\}}$ も含めて、 ${\{1,2,3\}}$ が、最大元だな』が、認められて、最大元が確定する。次は、極大元の例を欲しいけど」

私「今、 ${\{1,2,3\}}$ が、最大元だったな。この部分集合の集合から、 ${\{1,2,3\}}$ だけを、取り除いてご覧」

若菜「そうすると、 ${\emptyset,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{2,3\},\{1,3\}}$ ですが、これ、最大元あるんでしょうかね？」

結弦「 ${\{1\} \subset \{1,2\}}$ だったりするから、 ${\{1\}}$ は、極大元でもない」

若菜「一方、 ${\{1,2\},\{2,3\},\{1,3\}}$ の３つには、それより大きい元はない。だとすると、この３つが、極大元？　１つに確定しなくても良いんだ」

私「そうだ。極大元は、いくつも存在しうる」

結弦「これで、定義は、おしまい？」

私「まだあるんだ。上界集合（upper bound set）というのがある。順序集合 ${(a,\prec)}$ があるとき、その部分集合、 ${S \subset a}$ を、考えよう。そして、 ${S}$ の上界集合を、

　定義　上界集合（じょうかいしゅうごう）（upper bound set）

${u.b.(S)=\{x \in a|\forall_s(s \in S \Rightarrow s \prec x \}}$

と、定める」

麻友「順序の記号、 ${\prec}$ というのを、不等号の記号 ${\leqq}$ と、同じで、右側が開いているから、右側が、大きいと、暗黙の了解があると思って良いの？」

私「それについて、右が開いているからと、断っている本を、見たことないけど、大学１年生向けの易しい本なら、書いてあるのかも知れない。いずれにせよ、右側が大きいというように、取っておいて、大丈夫だよ」

結弦「おお、この本でゼミをやった、甲斐があった」

集合と位相 (岩波基礎数学選書)

作者:彌永昌吉,彌永健一
岩波書店

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私「もう、キャパシティ越えているかも知れないが、もうひとつ頑張って。全順序部分集合という長い名前を、鎖（くさり）というひと言で、呼ぶことにするんだ。今後、鎖、鎖、と、何度も出て来る。鎖と言ったら、順序集合の部分集合で、全順序（どの２つも、比べられる。つまり、１列に並んでいる）集合を、思い浮かべて欲しい」

若菜「もういい加減、ツォルンの補題の、ステートメントを、見たいですが」

私「まず、分かっているだろうが、選択公理、或いは、選出公理と呼ばれる公理を認めないと、ツォルンの補題は、証明できない。だから、まず、選択公理のステートメントから、持ってくる。私のリンク集の『NKとBGの要約』から、BGsummary.pdfの、元の ${\TeX}$ ファイルから、コピペして、$ を tex に、置き換えて、さあ出るか」

　公理(XXI.選択公理)

${ \forall x \exists f [ \mathrm{Fnc}( f,x,\cup x) \wedge \forall y (y \in x \wedge y \neq \emptyset \Rightarrow f(y) \in y ) ] }$

ただし、存在してただ一つと言うことを、

${ \exists ! w A(w) \stackrel{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} \exists w ( A(w) \wedge \forall z ( A(z) \Rightarrow w=z ))}$

と、表し、関数であるということは

${\mathrm{Fnc}(f,a,b) \stackrel{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} [ f \subset a \times b \wedge \forall u (u \in a \Rightarrow \exists ! w( (u,w) \in f ) ) ] }$

と、定義する。

結弦「こういう風に、必要になったときに、自分の数学の基準を、持ってこられるように、 ${\TeX}$ 化したんだね」

私「そう。ただ、このままでは、解読できないだろう」

若菜「記号が、３列も」

私「まず、一番下から、解読する。 ${\mathrm{Fnc}(f,a,b)}$ を、定義している。左辺は、 ${f \subset a \times b \wedge \forall u (u \in a \Rightarrow \exists ! w( (u,w) \in f ) )}$ だと言ってる。２段目で定義するのだが、 ${\exists ! w( (u,w) \in f )}$ というのは、 ${!}$ というビックリマークは、ただひとつというマークなのだ。だから、 ${\exists ! w}$ は、ただひとつだけ ${w}$ が、存在するということなのだ。つまり、関数に ${f(u)}$ と、 ${u}$ を、入れたとき、ひとつだけ、値が、決まりますよ。ということなんだ。記号の３列目は、そういう風に、 ${\mathrm{Fnc}(f,a,b)}$ という記号は、 ${f}$ は、 ${a}$ から ${b}$ への、関数ですよ。と述べる記号を、定義したものなんだ」

結弦「これ、ちょっと、分からないよ。ここまで、記号だけにしないで、言葉で書いてよ」

私「『多様体、テンソル解析とその応用』を、訳したのがあるから、使ってみようか？」

選択公理

${\mathit{S}}$ が、空集合でない集合の集まりとするとき、少なくとも１つの関数。
$\chi: \mathit{S} \rightarrow \bigcup_{\mathrm{S} \in \mathit{S}}\mathrm{S}$
が、あって、任意の ${\mathrm{S} \in \mathit{S}}$ に対し、 ${\mathrm{\chi (S) \in S}}$ となるようにできる。

結弦「そうじゃなくて、お父さんの言葉で、説明してよ。記号を並べられても、分からない」

私「そうか、つまりね、自然数の集合とか、整数の集合とか、有理数の集合とか、あるだろう。それらの集合から、ひとつずつ、要素を持ってくる。例えば、 $\{3,-2,\frac{4}{5}\}$ みたいに」

結弦「それが、できるとか、できないとか、問題にしているの？」

私「まあ、有限個なら、ひとつずつ持ってくるのは、できて当たり前だよな」

若菜「無限個だと、できないんですか？」

私「自然数の集合と同じ量の、可算個なら、持って来ても、問題は起こらない。実際、数学者は、可算選択公理は、平気で使っている」

麻友「非可算個の集合から、１つずつ持ってくるというのが、問題なわけ？」

私「問題なんだな。それを、持ってこられるとすると、ルベーグ可測でない実数の部分集合が作れて、積分できなくなったり、バナッハ-タルスキのパラドックスが、産まれたりする。ただ、ここで、ひとつ重要なことを、言っておく。選択公理 ${\mathbf{AC}}$ は、 ${\mathbf{ZF}}$ から独立なんだ。つまり、 ${\mathbf{ZF}}$ が、無矛盾なら、 ${\mathbf{AC}}$ を、公理に加えても、無矛盾だし、 ${\mathbf{ZF}}$ が、無矛盾なら、 ${\mathbf{AC}}$ の否定を加えても、無矛盾なんだ。だから、パラドックスみたいなものは、起きるけど、 ${\mathbf{ZFC}}$ を、使ってても、矛盾は起きないんだよ」

若菜「矛盾がおきると？」

私「 ${\mathbf{AC}}$ を、加えたために、矛盾が起きたとすると、論理学として、 ${\mathbf{AC}}$ は、偽な命題となってしまう。準背理法というものの結果だ。それから、 ${\mathbf{AC}}$ の否定を加えたために、矛盾したら、純粋に背理法で、 ${\mathbf{AC}}$ は、真となる」

結弦「そうすると？」

私「いずれにしても、矛盾が、公理から導かれたら、その公理系では、あらゆるものが、証明できてしまうので、数学を築くことは、できなくなるんだ」

麻友「太郎さんは、 ${\mathbf{ZF}}$ の、立場？　 ${\mathbf{ZFC}}$ の立場？」

私「真理のカメさんの存在を、言うには、ツォルンの補題が、必要だから、 ${\mathbf{ZFC}}$ の立場にならざるを得ない。ただ、常に揺れている」

麻友「そうなのね。今日は、１８時頃から、マックへ夕食食べに行って、小さい発見が、あったんでしょう。結弦に、話してあげて」

私「じゃあ、いったん解散」

　現在２０２３年８月２１日２２時２０分である。おしまい。