女の人のところへ来たドラえもん

２１歳の女の人と４３歳の男の人が意気投合し、社会の矛盾に科学的に挑戦していく過程です。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ブログの先頭に戻るには、表題のロゴをクリックして下さい。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　数式の変形。必ずひと言、添えてよ。それを守ってくれたら、今後も数学に付き合ってあげる。

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超実数そして実数（その１６）

　現在２０２３年３月２９日１５時５０分である。（この投稿は、ほぼ５６２３文字）

麻友「『超積と超準解析』を、進めるの？　超実数を、有理数の列から作るんじゃなかった？」

私「そう。有理数の列から、超実数を、作るのだが、もう十分に、『真理のカメさん』のとき、モチベーションは、上がっている。後は、可算級善良超フィルターが、存在することを、証明するだけだ。その場合、節の題名に上がっている、超フィルターを、作るだけで、いいんだ。そういう場合、最短コースを行く方法もある。

超積と超準解析―ノンスタンダード・アナリシス

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齋藤正彦さんのこの本を読む前に、

無限小解析の基礎―微積分の新手法

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超準解析

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の２冊を読んだ私は、そこに使われている、型の理論（タイプのりろん）というものが、何となく肌に合わなくて、超準解析が、分からなかった。後で分かったところによると、これは、１階の理論でなく、高階の理論だったから、私に分からなかったのだった。ときどき話している、逆数学というものは、２階の理論を使う。私には、まだ分からないことなのだ。ただ、１階の理論でも、数学はできる。超準解析も、１階の理論で、展開できる」

若菜「じゃあ、どうして、わざわざ２階の理論を、使ったのでしょうね」

私「どこまで、超準解析を使いたいかにもよる」

結弦「どこまでって？」

私「これは、重要なことなのだが、私はあくまで、実数の解析学を、見通しよくやりたい。ところが、複素数の解析学もやりたくなるのは、人情だ。普通、複素数は、{\mathbb{C=R \times R}} となっているから、{\mathbb{{}^*C}} は、{\mathbb{{}^*R \times {}^*R}} と、したくなる。ところが、これと、{\mathbb{{}^*(R \times R)}} は、違ってて、複素数の解析学には、そのまま応用できないんだ。同様に、多変数の実数の解析にも、応用しづらい」

麻友「なんか、余り、御利益がないわね」

私「直観的な議論をする上では、良いんだけど、やっぱり手を抜くと、後でたたられる」

麻友「そういうことか。取り敢えず、真理のカメさんを作るところまで、見届けるわ」


私「行くぞ。


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　１．１．４　命題

　１）{\mathscr{B}} がフィルター基底のとき，少なくとも一つの {\mathscr{B}} の元を含むような {I} の部分集合の全体 {\mathscr{F(B)}} はフィルターである．これは {\mathscr{B}} を含む最小のフィルターである。 {\mathscr{F(B)}} を {\mathscr{B}} の生成するフィルターと言う．

　２）{\mathscr{S}} が有限交差的のとき、{\mathscr{S}} の元の有限共分の全体

{\mathscr{B(S)}=\{A_1 \cap \cdots \cap A_n ; A_1,\cdots ,A_n \in \mathscr{S}\}}

はフィルター基底である．{\mathscr{F(B(S))}} を {\mathscr{F(S)}} と書き、{\mathscr{S}} の生成するフィルターと言う．


　証明はどちらもやさしい．



　超フィルター


　１．１．５　定義

　{I} 上のフィルター {\mathscr{F}} が包含関係に関して極大のとき，すなわち {\mathscr{F \subsetneqq G}} なるフィルターが存在しないとき，{\mathscr{F}} を {I} 上の超フィルター（ultrafilter）と言う．


　１．１．６　定義

　{I} の一点 {a} を含む部分集合の全体は超フィルターである．これらを単項超フィルター（principal ultrafilter），これ以外の超フィルターを非単項超フィルター（nonｰprincipal ultrafilter）と言う．
　実際に目に見える形に構成できるのは，単項超フィルターに限る．{I} が無限集合の場合，非単項超フィルターは，選択公理に依拠するつぎの定理によって存在が保証されるにすぎない．しかし，役に立つのは非単項超フィルターである．


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　　　　　　　　　　　　　　『超積と超準解析』（１０ページより）

麻友「細かいところは、全然分からないけど、例えば、{\mathscr{S}} って、なんて読むの？」

私「花文字のＳだね」

若菜「じゃあ、エスですか？」

私「そうだと思う。数学の記号の読み方って、先輩や先生の発音しているのを、盗むしかない。私も、最近まで、ＺＦを、ゼットエフと、読んでいたが、後輩が、ズィーエフと、読んでいるのを聞いて、確かに中学で、ｚをズィーと教わったなと、直すことにした」

結弦「そういう記号の読み方が、書いてある本って、ないの？」

私「大学１年生くらいまでの記号の読み方は、例えば、

数学記号を読む辞典

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読む数学記号 (角川ソフィア文庫)

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などに、書いてある。もう一つ、

数学英和・和英辞典 増補版

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の巻末に、数式の英語での読み方が書いてあって、参考になる」

若菜「それ以上では？」

私「大学２年生くらいになって、

{\displaystyle \oint_C f(z)=0}

などとなると、先生によっては、「C（シー）に沿ってグルッと積分すると、０（ゼロ）になる」などと、読んだりする。数学でも、気持ちが大切だということだね」

若菜「それは、なんという定理？」

私「コーシーの定理という。ただ、コーシーと名の付く定理は多いので、コーシーの積分定理とも言う」


麻友「じゃあ、ひと息ついたところで、かの定理に、お目にかかりますか」


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　１．１．７　定理

　{\mathscr{P}(I)} の部分集合 {\mathscr{S}} が有限交差的なら，{\mathscr{S}} を含む超フィルターが存在する．とくに，任意のフィルターを含む超フィルターが存在する．

　証明

　{\mathscr{S}} を含むフィルターの全体を {\mathbf{F}} とする．{\mathscr{S}} の生成するフィルター {\mathscr{F(S)}} は {\mathbf{F}} の元だから {\mathbf{F}} は空でない．{\mathbf{F}} は包含関係に関して帰納順序集合である．実際，{\mathbf{F}} の空でない部分集合 {\mathbf{G}} が，同じ順序に関して全順序集合であるとしよう．（研究者注：これは、あくまで仮定である。なぜ、全順序なのか？　と、理由を探すのは、空しい）　{\displaystyle \mathscr{G}=\cup \mathbf{G}=\bigcup_{\mathscr{F} \in \mathbf{G}}\mathscr{F}} とおく．{\mathscr{G}} はフィルターである．なぜなら，まず {\mathscr{G}} は空でない．つぎに定義の三条件を調べる．

a) 空集合はどの {\mathscr{F} \in \mathbf{G}} にも属さないから {\emptyset \notin \mathscr{G}} ．

b) {A \in \mathscr{G},A \subset B} とする．{A} はある {\mathscr{F} \in \mathbf{G}} に属する．{\mathbf{F}} はフィルターだから {B \in \mathscr{F}} ．よって {B \in \mathscr{G}} ．

c) {A,B \in \mathscr{G}} なら {A \in \mathscr{F_1},B \in \mathscr{F_2}} なる {\mathbf{G}} の元 {\mathscr{F_1},\mathscr{F_2}} が存在する．{\mathbf{G}} は全順序集合だから {\mathscr{F_1} \subset \mathscr{F_2}} または {\mathscr{F_2} \subset \mathscr{F_1}} ．{\mathscr{F_1} \subset \mathscr{F_2}} なら {A} も {B} も、{\mathscr{F_2}} に属する．{\mathscr{F_2}} はフィルターだから {A \cap B \in \mathscr{F_2}}, よって {A \cap B \in \mathscr{G}} ．{\mathscr{F_2} \subset \mathscr{F_1}} の場合も同様．{\mathscr{G}} はあらゆる {\mathscr{F} \in \mathbf{G}} を含むから {\mathbf{G}} の上界である．よって {\mathbf{F}} が帰納順序集合であることが分った．したがって，ツォルンの補題により，{\mathbf{F}} は極大元 {\mathscr{F}} を少くとも一つもつ．{\mathscr{F}} は超フィルターで，{\mathscr{S}} を含む．{\blacksquare}


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　　　　　　　　　　　　　　　　　『超積と超準解析』（１０ページから１１ページより）


麻友「太郎さん。証明完了するまで、薬、飲まなかったのね」

私「だって、セロクエル１００ｍｇを飲むと、確実に馬鹿になるんだもん」

若菜「自分で分かるんですか？」

私「数学の証明っていうのは、いくつか条件が定まっていて、それが、満たされた状態で、道を進んでいくようなものだ。ここは、きわどいけど、通れるかな？　というところが何カ所かある。そこで、これがあるから大丈夫だ。と、切り札のようにカードを切っていく。だが、最後ギリギリというのは、もの凄く閃いて、持っている条件、或いは、持っているカードを、全部切らなければ、ならないことが、多いんだ。そこで、このカードを、使って良いんだっけ、などと、心配になっているようじゃ、数学の証明を、やり切ることなんて、到底出来ない。自分の頭の中が、綺麗に整頓されていなければならないのに、セロクエルを２００ｍｇ、さらにオランザピンを２０ｍｇ、フルニトラゼパムを２ｍｇも飲んでしまうと、あっちも心配、こっちも心配となって、整頓されているべきものが、ごっちゃごっちゃになる。人の命を救おうって言ってるのに、目の前のメスやピンセットが、いつも通り動いてくれない、なんてことが、起こったら、どうするの？ と、以前相対論のブログで書いたが、数学者にとって、頭の冴えというのは、死活問題なんだよ」

結弦「こういう文章は、書けるんだな」

私「そろそろ、眠くなっているけどね」

麻友「上の証明で、帰納順序集合というのは、順序集合で、その空でない全順序部分集合が、上に有界であるときなのね。そして、ツォルンの補題というのは、空でない帰納順序集合は少なくとも一つの極大元を持つというもの。これを使って定理を証明した。細かいことは分からないけど、これで、真理のカメさんが、存在することが、証明されたのね」

私「後、可算級とか、善良とかの条件を付けるけど、峠は越えた。残りは、次回やる」

若菜「人の命を救おうって言ってるのに、目の前のメスやピンセットが、いつも通り動いてくれない、なんてことが、起こったら、どうするの？ というお父さんの表現の真意を知ることが、できました。切実な問題なのですね」

結弦「今日は、これで、おしまいだなあ。おやすみなさーい」

若菜「おやすみなさーい」

麻友「おやすみ」

私「おやすみ」

　現在２０２３年３月２９日２２時１９分である。おしまい。