超実数そして実数（その７） - 女の人のところへ来たドラえもん

　現在２０２２年９月２８日１７時４４分である。（この投稿は、ほぼ４８８７文字）

麻友「分子生物学は？」

私「こちらを、一段落させたいだろう」

若菜「真面目に、超フィルター、非単項超フィルター、 ${\omega ｰ\mathrm{incomplete}}$ な超フィルター、自由超フィルターと、順々にやっていくのは、いやです。一番面白いのは、（その４）のときの、この脚注でしょう」

それに，非単項で自由でない超フィルターは存在するかどうか分っていない．（ここに、脚注がある）こういう理由であえて慣用を破った．ほかの本や論文を見るときは注意を要する．

　脚注

　これはいわゆる可測基数の存在問題である．もしゲーデルの ${V=L}$ を仮定すれば可測基数は存在しない．

私「そうなんだ。今回の、超実数の構成の話で、一番面白いのは、この、可測基数の話だ」

麻友「えっ、ちょっと待って、いつの間に、そんなところまで」

私「いや、麻友さんの今居るところは、大学時代の私と、同じだ。『非単項で自由でない超フィルターは存在するかどうか分かっていない』というのを、読んで、存在するかどうか、私が調べてやろうじゃないか。と思ったものだった」

結弦「存在しないの？」

私「京都から、帰ってきた後も、数学基礎論を、学び続けた。視界が、開けてきたのは、

数学基礎論へのいざない (数学基礎論シリーズ)

作者:倉田令二朗
河合文化教育研究所

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入門数学基礎論 (倉田令二朗監修・数学基礎論シリーズ)

作者:倉田令二朗
河合文化教育研究所

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公理論的集合論 (倉田令二郎監修・数学基礎論シリーズ)

作者:令二朗, 倉田,寿一, 篠田
河合文化教育研究所

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などを、見つけた頃だ。きちんと言っておくと、３冊目の本（の８８ページに）、

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構成可能公理（Axiom of Constructibility）とは、すべての集合は構成可能集合であることを要請するものである．すなわち

${V＝L　または　\forall x \exists \alpha (x \in L(\alpha))}$

と表現される．

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　　　　　　　　　　　　　　（倉田令二朗／篠田寿一『公理論的集合論』（河合文化教育研究所）

とある。さらに、進んで、２０００年６月２日、

巨大基数の集合論

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に、手を出す。可測基数という言葉を、見つける」

若菜「どんな風に？」

私「という表が、載っている。これは、ひとつひとつが、数学の公理系で、『1=0』を仮定（つまり矛盾を仮定）すれば、以下全部が、導ける。 ${\mathrm{I0ｰI3}}$ を仮定すれば、そこから下の全部が、導ける。でも、『1=0』（つまり矛盾）は、導けない。以下同様に、 ${0^{\dagger} が存在する}$ を仮定すれば、可測基数は存在する。など、本当は、齋藤正彦さんの分かっていないというのは、未解決問題なわけではなく、公理の取り方によって、存在することも、存在しないことも、有り得ますよということだったんだ」

麻友「つまり、数学は、無数に存在するのね。乳酸菌が、１０００億個あっても、かなわない」

私「もう、数学の公理は、調べられ尽くしている。でも、やっぱり、ブルバキの新巻が、出版されるというのは、オーソドックスな数学は、誰にとっても同じ、ZF（ズィーエフ）または、BG（ビージー）であるのだろう。そして、『本当に使い易いのは、BGの方だよ』というのが、私の見解なんだ」

若菜「ここまで、凄いことが、待ち受けているとは、思っていませんでした。お父さん、２８年間、何もしてなかったわけでは、ないのですね」

私「ハハハ、若菜に、こんなことで、褒められるとはな」

結弦「お父さんから、数学の話を、今まで沢山、聞いてきたけど、数学が、こんなにあるなんて、最高の話だよ。でも、この後、どう数学を、勉強して行ったらいいの？」

私「この、公理が、一杯あるという話は、一旦、頭の隅に、どけておいて、きちんとした、正常な、数学の本を、代数学、解析学、幾何学のそれぞれについて、何冊か、読むのが、良い。実は、数学基礎論の本を、読んでいると、やっぱり同じ数学者なんだね、数学基礎論の証明に、代数学での証明のアイディアが、使われていたりする。数学基礎論の本で、その証明に出会うよりも、正常な数学で、出会う方が、ずっと、気持ちが良い。そして、正常な数学で、その定理を知っていれば、数学基礎論で出会って、嫌な思いをすることもない。再会を楽しむ気分になるからだ」

若菜「お父さんが、楽しそうに、数学やっている秘密が、分かりました」

麻友「さっきのは？」

私「齋藤正彦さんの本で、 ${\omegaｰ\mathrm{incomplete}}$ （訳せば可算級非完備）という言葉に対して、自由という言葉を充てると、言っている。普通の本では、自由は、非単項という言葉の訳語だという。そもそも、非単項とは、何か？　これ、実は、凄く簡単で、単項フィルターというのは、前回、46だの、48だのと、やった、 ${\{4,7\}}$ を含む部分集合全体からなる集合というフィルターで、 ${\{4,7\}}$ の、一方を抜かして、 ${\{4\}}$ を含む部分集合全体からなる集合などと、したものなんだ。当然、フィルターになるし、実は、

${A \in \mathscr{F} または、\mathbb{N}-A \in \mathscr{F}}$

を、満たして、超フィルターにもなる。だから、単項超フィルターとなる。でも、実は、齋藤正彦さんが、

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　注意

　これは慣用と著しく異なる用法である．普通，この条件をみたす超フィルターは、 ${\omegaｰ\mathrm{incomplete}}$ （訳せば可算級非完備）と呼ばれ，《自由》は《非単項》と同義である．我々が使うのはもっぱらこの種の超フィルターであるのに，この名称は長すぎるし，否定辞を含んでいるのも、気に入らない．それに，非単項で自由でない超フィルターは存在するかどうか分っていない．（ここに、脚注がある）こういう理由であえて慣用を破った．ほかの本や論文を見るときは注意を要する．

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　　　　　　　　　（『超積と超準解析』１２ページより）

で、言ってるように、

『我々が使うのはもっぱらこの種の超フィルターであるのに，この名称は長すぎるし，非定辞を含んでいるのも，気に入らない．』

と言うように、実際に、私達が、使用したいのは、 ${\omegaｰ\mathrm{incomplete}}$ なフィルターで、しかも、単項であっては、困るんだ。今、証明はしないけど、（例えば、『超積と超準解析』の１２ページに証明はあるが、この本以外にも証明はある）真理のカメさんの条件の

ｅ） ${\mathscr{F}}$ は有限集合を含まない。

を、成り立たせるには、単項でないことが、求められるのだ。さらに、齋藤正彦さんは、非単項で、あるだけでなく、 ${\omegaｰ\mathrm{incomplete}}$ なフィルターであることを、求めている。『訳せば可算級非完備』というのは、つまり、可算個 ${\mathscr{F}}$ の元を、共通部分取ると、元いた、 ${\mathscr{F}}$ から、こぼれ落ちるよ。ということだ」

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　 ${I}$ を無限集合， ${\mathscr{F}}$ を ${I}$ 上の超フィルターとする． ${\mathscr{F}}$ に属する可算個の元 ${A_0,A_1,\cdots}$ で、 $\bigcap_{n \in \mathbb{N}} A_n \notin \mathscr{F}$ なるものが存在するとき、 ${\mathscr{F}}$ を自由超フィルター（free ultrafilter）と言う．

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と、なっている。私は、齋藤正彦さんとは、異なり自由を、 ${\omegaｰ\mathrm{incomplete}}$ で、通す。（その４）のときの約束を、守るため、

　１．１．１２　命題

　無限集合 ${I}$ 上の超フィルター ${\mathscr{F}}$ に関するつぎの三条件は同値である．

ａ） ${\mathscr{F}}$ は自由（ ${\omegaｰ\mathrm{incomplete}}$ な）超フィルターである．

ｂ） ${\mathscr{F}}$ に属する可算個の元 ${J_0,J_1,\cdots}$ で, $J_n \supset J_{n+1},\bigcap_{n \in \mathbb{N}}J_n=\emptyset$ なるものが存在する．

ｃ） ${I}$ の可算個の類への分割 ${\{I_n;n \in \mathbb{N}\}}$ で、どの ${I_n}$ も ${\mathscr{F}}$ に属さないものが存在する．

を、写しておく。そして、

　１．１．１３　命題

　自由超フィルターは単項でない．とくに ${I}$ が、可算集合なら、逆も成立つ．

を、思い出す。 ${\mathbb{N}}$ は、可算である。そうすると、単項でない ${\Rightarrow}$ 自由（ ${\omegaｰ\mathrm{incomplete}}$ ）となる。つまり、可算の世界では、非単項であれば、齋藤正彦さんの欲しがっている ${\omegaｰ\mathrm{incomplete}}$ も、成り立つのだ。だから、真理のカメさんの条件に、 ${\omegaｰ\mathrm{incomplete}}$ になるための、条件は、書かれていないのだ」

麻友「ちょっと、レヴェルが、上がりすぎたわねぇ。若菜も、分かっているの？」

若菜「お父さんが、『真理のカメさん』という言葉に込めた、思いの強さは、分かりました」

結弦「可測基数というものの、冒険、いつか、してみたいなあ」

麻友「数学を、勉強して行く、良い方法は、どんなものかしら？」

私「自分のレヴェルより、ほんのちょっと、レヴェルの高い本で、勉強するのが、良いと思う。正確には、『この本で、勉強したかったんだけどな』という後悔がないように、勉強するのが良い。上野先生は、『僕達の頃は、みんな読めなくても、ブルバキは、持っていたものだけどな』と、言っていたが、ブルバキに限らず、『この本は、絶対読みたいという目標の本を持つ』のは、よいことだ」

麻友「真理のカメさんの、由来は、大分分かった。次は、どうするの？『超実数？』『分子生物学？』」

私「今回、かなり凄いこと、やったから、定着させるために、分子生物学の方に、進むかも」

麻友「待ってるわ。おやすみ」

若菜・結弦「おやすみなさーい」

私「おやすみ」

　現在２０２２年９月２８日２１時３３分である。おしまい。