現在２０２３年７月７日２１時０４分である。（この投稿は、ほぼ２９３７文字）
今年の４月に、以下の投稿を、書きかけていたが、証明を完成させるのが遅れ、投稿しそびれていた。本来、真理のカメさんが、存在することを、証明するつもりだったが、ひとまず証明の流れを見てもらい、完全な証明を与えるのは、後に日を改めて、行うことにして、投稿することにした。
現在２０２３年４月１６日２０時１１分である。
麻友「昨日遊んだから、真面目に始めるかな？」
私「そうしようか。自由超フィルター（ な超フィルター）の存在の部分を、書こうか」
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自由超フィルター
１．１．１１ 定義
を無限集合，
を
上の超フィルターとする．
に属する可算個の元
で、
なるものが存在するとき、
を自由超フィルター（free ultrafilter）と言う．
注意
これは慣用と著しく異なる用法である．普通，この条件をみたす超フィルターは，（訳せば可算級非完備）と呼ばれ，《自由》は《非単項》と同義である．我々が使うのはもっぱらこの種の超フィルターであるのに，この名称は長すぎるし，否定辞を含んでいるのも，気に入らない．それに，非単項で自由でない超フィルターは存在するかどうか分っていない．（ここに、脚注がある）こういう理由であえて慣用を破った．ほかの本や論文を見るときは注意を要する．
脚注
これはいわゆる可測基数の存在問題である．もしゲーデルの を仮定すれば可測基数は存在しない．
１．１．１２ 命題
無限集合 上の超フィルター
に関するつぎの三条件は同値である．
ａ） は自由（
な）超フィルターである．
ｂ） に属する可算個の元
で,
なるものが存在する．
ｃ） の可算個の類への分割
で、どの
も
に属さないものが存在する．
証明
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『超積と超準解析』（１２ページから１３ページ）
私「眠くなっちゃったから、続きは、明日ね。解散」
現在２０２３年４月１６日２１時５２分である。中断。
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１．１．１３ 命題
自由（ な）超フィルターは単項でない．とくに
が、可算集合なら、逆も成立つ．
証明
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（以上、『超積と超準解析』の１３ページの一部）
この命題から、次の定理が得られ、『真理のカメさんが、存在する』というか、『真理のカメさんが、作れる』ということが、分かるのである。
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１．１．１４ 定理
無限集合 の任意の無限部分集合を含む自由（
な）超フィルターが存在する．とくに，
上に自由（
な）超フィルターが存在する．
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（以上、『超積と超準解析』の１３ページから１４ページの一部）
真理のカメさんの作り方
ちょっと出だしだけ、見せておこう。
まず、真理のカメさんの場合、 であり、自然数全体の集合は、可算集合だから、 １．１．１３ 命題 で、言っている、逆が成り立ち、非単項なら、
な超フィルターである。真理のカメさんの条件 ｅ）により、
上の
は、有限集合を含まないから、非単項であり、よって今、
は、
であることが、確かめられた。そして、 １．１．１４ 定理 より、
上に、
な超フィルターが存在するのである。
ところで、気になっているのが、超実数、
．
みたいなのと、
．
とを、同じにしていいか？ もう少し言うと、これらの数列で、一致しているところの番号、
を、カメさんが見て、ああこれは、持ってるなと分かった場合は、いいのだが、（つまり、それまでに、『持ってる』と、答えたことを覚えている場合）、一方まだ、未体験のものだった場合、持っていると、答えるか、持っていないと、答えるか、判断しなければ、ならない。これは、今までに答えたことと、矛盾しないように答える必要がある。だけど、１通りには、決まらないことがある。だから、真理のカメさんは、目に見える形には、構成できないのである。
私「今日は、ここまでにする。定理の証明は、後できちんとする。まず、可算級善良超フィルターというものの使い方に、触れて欲しかった。それでは、解散」
現在２０２３年７月７日２２時４０分である。おしまい。
