現在２０２３年３月１８日９時３３分である。（この投稿は、ほぼ２１９６文字）
麻友「何時に起きたの？」
私「８時５０分だ」
麻友「昨日、２１時前に、寝る前の薬を飲んだからかしら？」
私「そういう簡単なものではない。実際３時３分にも起きていて、もう一度寝ている」
結弦「無限集合、Aと、Ｂがあるとき、Ａの方がＢよりも、元の数が大きく、Ｂの方もＡよりも、元の数が大きいとき、ＡとＢは、同じだけの多さの元を持っている。と言うことを、証明するって、言ってたけど、なんか、当たり前じゃない？」
若菜「AよりもＢの方が、元の数が大きいというのは、どう定義するのですか？」
私「もう、想像付くだろう。『Ｂの部分集合で、Ａと全単射な写像が作れる集合が存在すること』だよ」
若菜「そうすると、ＢよりもＡの方が、元の数が大きいというのは、『Ａの部分集合で、Ｂと全単射な写像が作れる集合が存在すること』ですね。論理的に考えて、 と、
ならば、
のはずですが、記号から、そう即断するべきではありませんね。これらから、A と、Ｂ の間に、全単射な写像が、存在することが導けないと、同じ濃度だと言えない訳ですね」
私「そうなんだよ。濃度という数字が、ひとつひとつ定まるには、 と、
ならば、
ということを、証明しなければ、ならない。ところで、この証明には、選択公理を用いる、順序数を用いたものの他に、選択公理を用いない素朴集合論でのものがある」
麻友「素朴集合論って、何？」
私「naive set theory の訳で、記号論理学や、公理的集合論、を、使わない集合論だ。麻友さん達には、最初から記号論理学を教えたから、区別が付かないかもしれないけど」
若菜「選択公理は、まだ習ってないので、素朴集合論での証明を、してみせるのですね？」
私「この定理には、思い出がある。中学３年のとき、数学の担任の藤沼先生から、『有理数の無限より、無理数の方が、多いということが分かっているんだ』と聞き、高校２年で、
という本を見つけて、読んだ。この本は、通俗書で、深い理解は得られなかったが、無理数の方が、有理数より多いという証明は分かった。私を数理の翼に送ってくれた、河野先生にその話をして、『何か、この後読んだら良い本が、ありますかね？』と、聞いたら、『そうだなあ、これなんかどうだ？』と、
を、本棚から取り出して、貸してくれた」
麻友「森毅（もり つよし）の本ね」
私「これは、『無限を求めて』の何倍も、難しかった。基数について書いてあることは、辛うじて分かったが、順序数（序数）について書いてることは、全然分からなかった。先生に、『序数についてと、基数について、並行して書いてあるのですが、基数のことしか、分かりませんでした』と、返したら、『基数について分かっただけでも、大したものですよ』と、慰められた。『しばらくおいて、読んでみたいです』と言って、そのときは、終わった。最後に先生が、『ベルンシュタインの定理って、面白いだろ』と、言った。『Aが、Bよりも大きくて、BがAよりも大きければ、同じというのですね。当たり前ですが』と、答えた。実はそれが、証明しなければならないことだと、当時の私は、気付いていなかったのだ」
結弦「その後、その本を、見返した？」
私「自然科学の良心で、『数学基礎概説』を、読んでいたとき、
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以上の結果から、次のBernsteinの定理（定理 ８．１の系）が導かれる．
［定理 ８．１］
集合 のそれぞれが他方の部分集合に対等ならば
の濃度は等しい．
研究者注
注終わり
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（『数学基礎概説』１９２ページ）
さて、ここで、その証明を探した。そうしたら、森毅『無限集合』に、解答が、書いてあったのである。以下に、その証明を、『数学基礎概説１４』のノートから、スキャンして載せる」
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（『数学基礎概説１４』ノート８３８ページより）
麻友「これだけじゃ、分からない」
私「当然だな。でも、今晩は、もう眠い。またの機会に、しよう」
若菜・結弦「おやすみなさーい」
麻友「おやすみ」
私「おやすみ」
現在２０２３年３月１８日２３時２０分である。おしまい。
