倒せツォルンの補題（その３） - 女の人のところへ来たドラえもん

　現在２０２３年８月２３日１８時１２分である。（この投稿は、ほぼ２７８９文字）

麻友「折角の才能のために、私を、振るのでは、なかったの？」

私「麻友さん、私に振られてくれるの？」

麻友「だって、私に会う前の頭の冴えが、って、言ってたじゃない」

私「うん。『フーリエの冒険』買ったり、『量子力学の冒険』買ったり、『小学校６年間の計算の教え方』買ったりというのは、私に取っては、ある意味無駄だった。

フーリエの冒険

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量子力学の冒険

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つまずきやすいところが絶対つまずかない! 小学校6年間の計算の教え方

作者:安浪京子
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でも、麻友さんには、ウソを付かない、ということのために、必死で勉強したというのも、確かだった。麻友さんレヴェルには、もう落とさないけど、麻友さんには、ウソを付かない、というのは、徹底する。今日の投稿で、それが、明らかになる。１日、結弦の話が、挟まったのが、問題を解決に導いた」

結弦「あの、 ${x}$ の ${x}$ 乗のはなしというのは、あれで、おしまい？」

私「あれは、一応、おしまいだ。ツォルンの補題を、倒す話に、戻る」

若菜「色々、定義が、現れていましたが」

私「もう、麻友さんレヴェルに戻って、復習はしない。この本の証明をチェックしていく」

集合と位相 (岩波基礎数学選書)

作者:彌永昌吉,彌永健一
岩波書店

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若菜「おっ、いきなり」

私「あらかじめ、証明は、見せる。最初のスキャンの右ページに、定理５．１（Zornの補題）とあるが、おしゃべりがあって、補題５．１を片付けた後、右ページ下から、証明が、始まる。

そのまま、次のスキャンの１ページを、消化し、右ページの４分の３くらいで、証明が、完結する」

こういうことだ」

麻友「これを、太郎さんが、ノート取りながら、数学の本読むレヴェルで、ブログに書くということ？」

私「見ててみなって、私は、よっぽどのことがなければ、誤魔化したりしないから」

若菜「ゼミだと思って、突っ込んでみます」

結弦「難しいって、どれくらいなんだろう？」

私「それでは、ツォルンの補題の、ステートメント。

　定理　５．１　（ツォルンの補題）

　 ${(a,\prec)}$ を、帰納的順序集合、 ${\alpha \in a}$ とすれば、 ${a}$ の極大元 ${\beta}$ で、 ${\alpha \prec \beta}$ となるものが存在する。

あっ、帰納的順序集合というのだけ、定義忘れてたね。

　定義　帰納的順序集合

　順序集合 ${(a,\prec)}$ において、 ${a}$ に含まれる任意の鎖が上界を持つ（すなわち、上界集合が、空集合でない）とき、 ${(a,\prec)}$ を帰納的順序集合 (inductive ordered set) と呼ぶ。

ということだ」

麻友「これ、手掛かりも書いてくれているのかも、知れないけど、これっぽちも、分からない。その上、証明なんて、されたら、ちょっと気が狂いそう」

私「難しいと思うのは、レヴェルこそ違えども、私も、同じなんだ。ただ、私が、それでも挑めるのは、私に分からなかったら、著者が間違っているのじゃないか？　間違いを見つけてやろう。という自分の才能に、頼める部分が、あるからなんだ。実際、この証明では、１箇所、誤植があった。それが、間違いだとかなり以前から、気付いていたが、今日チェックしていて、誤植ではなかったのかな？　と、迷った。そして、改めて、考え直して、やっぱり誤植だと、判断した。つまり、昨日だったら、分からなかったんだ」

結弦「それが、１日僕の話が、挟まった。ということなのか」

私「証明の方針を、著者が書いている。そこから、写し始めてみる」

麻友「私、おばけくじらに食べられちゃった、アンドロメダ姫」

私「もう。人魚姫とか、シンデレラとか、・・・」

麻友「著者が、どう書いているかは、いいのよ。太郎さんが、この証明を、要約してよ」

私「そうか。まず、順序集合 ${(a,\prec)}$ が、帰納的だという性質から、 ${a}$ の鎖には、必ず、上界がある。だから、 ${a}$ の鎖、ひとつひとつに、その上界の集合を対応させられるはずだな」

麻友「上界の集合なの？上界でなくて？」

私「帰納的順序集合の定義では、任意の鎖が、上界を持つ、と言っているが、１つだとは、言っていない」

麻友「そこが、微妙なのね」

私「そう。そこで、任意の鎖について、その上界集合から、ひとつずつ選んで、これが、上界のひとつですよ。と、新しく、鎖全部から、上界達への、関数を作ろう」

麻友「それが、選択公理を使わなければ、作れない、関数なのね」

私「その通りだ。ただ、極大元という条件もある。任意の鎖から、上界を指定できるけど、どの上界が、極大か、分からない」

麻友「どうしたら、いいの？」

私「その部分が、簡単に落とせないので、この本でも、ブルバキでも、証明が、長くなるのだと思う。論理的には、間違いではないが、ややこしい論法を使っている」

麻友「どんな？」

私「まず、 ${C}$ を鎖として、 ${u.b.(C)-C=\emptyset}$ となるような ${C}$ があれば、 ${C}$ の最大元が、極大元になるから、定理は成り立つことを、確認している。次に、 ${u.b.(C)-C=\emptyset}$ でないとする。という。そうすると、矛盾すると言うんだ。つまり、 ${u.b.(C)-C \neq\emptyset}$ とはならないということなんだね」