現在２０２３年９月７日１８時４１分である。（この投稿は、ほぼ２９６６文字）
麻友「ツォルンの補題、復活した！」
私「この証明、この本の他の証明と、何か違うと、思っていたら、テキスト本文に、
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
Zermelo の整列可能定理（後の定理５．４）の証明のアイディアに基づいてこのような考え方を厳密化した Zorn の補題の証明が，Halmos の Naive Set Theory に出ているので，それを以下に紹介しよう．
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
（『集合と位相』９３ページ）
と、書いてある。著者も、良い証明を、思いつけなかったようだ」
結弦「次のページも、一応見せて」
私「はい」
若菜「もう１ページで、証明終わりなのでしょう。それも見せて」
私「はい」
麻友「証明が、悪いというの？」
私「いっとき、この証明の半分ぐらいの分量で、証明できるのではないかと、思い込んでいた。だが、私の証明には、誤りがあった。ブルバキにしても、ハルモスにしても、長い証明になるのは、当然のようだ」
麻友「少し進めてよ」
私「うん」
定理 ５．１ （ツォルンの補題）
を、帰納的順序集合、
とすれば、
の極大元
で、
となるものが存在する。
定理 ５．１の証明
は
の鎖
とする．
である．定理の仮定によって，
の任意の元
に対して
となる．もしも
となるような
があれば，定理は成り立つ．
私「１行ずつでも、進めよう」
麻友「それでも、良い」
私「もしかしたら、麻友さんは、私がここで、『てんで、分からないわ』なんて言わせて、証明を止めたら、がっかりするのかも、知れない」
麻友「あっ、本物の私が？ 確かに、変わった人だからね」
私「気になるところ、聞いていいぞ」
若菜「 である．とありますが、そう、置くということですか？」
私「良いところ、聞いたね。これは、そう置く、という意味ではない。 の定義から言って、
が、
の元だと言っているんだ」
若菜「 の定義から言って、って、どこで、定義したんですか？」
私「この証明の最初だよ。 を、どう定義した？」
若菜「えっと、は
の鎖
とする．と、定義した。でも、
なんて、ないけど」
私「うん。十分慣れていないね。まず、は
の鎖
だけど、一応、こういう集合の書き方は、知ってるね」
若菜「縦棒の右側に、条件を書く」
私「そうだけど、実は、左側にも、条件を書いて良いんだ」
若菜「 の部分？」
私「そうだね。この集合の要素 は、
の元だ。と、読める」
若菜「集合 の、部分集合全体の集合の要素。つまり、その要素は、
の部分集合。そうすると、
は、
の元だから、
は、
の部分集合？」
私「そう」
若菜「だから、 の元？」
私「それは、まだ分からない。他に確かめるべき条件がある」
結弦「お姉ちゃんさあ、は
の鎖
だけど、
が、標的なんじゃん。
の
に、
を、入れちゃえば、条件１つクリアだよ」
若菜「 の、
に、
を代入？
あっ、条件満たされる」
麻友「そうすると、最後の条件は、は
の鎖
の部分だけど。これ、ずるいことが、できそうね」
私「やってみて」
麻友「 は、１個だけの元からなるから、自分だけで、順序集合を作れる。特に、自分だけだから、自分とは、常に比較でき、全順序集合。だから、順序集合
の全順序部分集合、つまり
の鎖。これで、全部の条件が満たされ、
が、確かめられた」
若菜「えっ、３文字くらい進むのに、こんなに時間がかかるの？」
私「私も、大学に入ったばっかりのとき、１日に数学の本が、１行くらいしか、読めなくて、絶望したものだった。悲観することはない。スピードは、確実に上がる」
麻友「今日は、数学で、条件を１つずつ確かめるには、どうやるか、見せてもらったわね」
結弦「面白かったよ」
私「それじゃ、解散」
現在２０２３年９月７日２２時０４分である。おしまい。
