現在２０１８年４月７日１５時０６分である。
麻友さん、昨日のダブミーのブログ読んだよ。
「私、忙しくて、本当に、余裕ないの」
『アメリ』の準備で、大変なのは、分かる。
５月から６月にかけて、渡辺麻友の名が、世の中に通るかどうかの勝負所なのは、確かだ。
私からのオファーに、応えるかどうかは、『アメリ』が、完全に終わってから、返事をくれるので、もちろんいい。
「２カ月先まで、待ってくれる？」
今まで、３年間待ったんだよ、２カ月くらい、どうってことないよ。
「あっ、３年前の今日ね」
そう。私が、クロード・モネの『日傘をさす女』の前に、麻友さんを立たせて、写真を撮ったのを、ブログに張り、『ファンになった理由を書きました』と、ＵＲＬをツイートしたのは、２０１５年４月７日２１時３６分。
「３年かー。そういえば、太郎さんが、冷蔵庫に２本だけ、取ってあるなんて書いたから、本当に、ワンダエクストショットなくなっちゃったわね」
あれは、アサヒ飲料に、無理させないように、宣言したんだよね。
「無理って？」
売れないもの、作り続けさせちゃ、悪いと思って。
「ほんと、正直っていうか、太郎さんは、自分が損させられることなんて、ないと思ってるのね」
麻友さんの１月２７日のフジテレビネクストの番組で、根本宗子（ねもと しゅうこ）さんとの対談で、
『すっごい運がいい人の役で、運が余りにも良すぎて、なんか毎回勧誘とかにあって、なんかお金とか払っちゃうけど、運がいいから絶対戻ってきて、悪いことにあったと思ってない。というような、コメディも、やってみて欲しい』
って、言われてたよね。
「太郎さん。本当に、スカパーに、お試しで入って、見てくれてたのね」
スカパーの番組は、録画規制がかかっているから、ダビング１０が、できないのね。だから、『麻友』のブルーレイ１枚にだけ、きちんと録画してある。
「私、あの取材の時、『お姫様の役ができる人少ないですから』なんて言われて、舞い上がっちゃって・・・」
私、あの時、ふたりを見比べていて、麻友さんものすごく、手を振り回すなぁ、と気付いた。
「あっ、身振り手振りで話すってこと？」
そう。
実は、私も、そうなんだ。
数学の話し始めると、手を振り回す。
女の人と、男の人、ってことで、共通点って、なかなかなかったんだけど、やっとひとつ見つけたな。
「とんでもないこと、言い出すわね。それにしても、全部、プラスに考えるのね」
今日は、マイナスの話。つまり、引き算の話をしようと思ってたんだけどね。
「『安浪京子ＶＳ松田太郎』の３回目ね。引き算で、どんな話ができるの？」
つまずきやすいところが絶対つまずかない！ 小学校６年間の計算の教え方
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の本で、例えば、 ならば、簡単だよね。
「もちろん、 よね」
そう。
これを、間違えるようじゃ、先に進めない。
次に、 というのは、どうだろう。
「これも、 となるのは、常識ね」
うん。
そこで、ちょっと、変化球。
というのは？
「ああ、繰り下がりの計算ね。でも、１２から７を引いたら、５というのは、当たり前じゃないかしら？」
そうか、特待生は、ここまで、常識になっているか。
じゃあ、
としてみたら？
「段々、変化が、激しくなってくるわね。まず、５１の１のくらいが、１で、３より小さいから、引けないのよね」
「こういう場合、１０のくらいから、１０をひとつ、借りてくるのよね。そうして、 から、
を引く」
「 だから、１のくらいに、８がたつ。そして、１０をひとつ借りてきているから、１０のくらいは、４になる」
「よって、 となる」
模範解答だね。
「太郎さん、これにいちゃもんつける気？」
いちゃもんつけるつもり。
「えー、こんなのに、どうやって？」
私が、小学校３年生の１２月から、公文に通っていた、という話は、したよね。
「そうだったわね。お父様が、『たのしい算数』のクイズを続けるのが、困難になって、専門家に任せるといったのよね」
そう。
公文というのは、ひたすら問題を解いて、計算を空気のようにできるようになるのが、目標。
「空気のように？」
数学の女王と、私達が呼んでいるオイラーは、
『オイラーは、人が呼吸するように、またワシが風に身を任せるように、はた目には何の苦労もなく計算をした』
と言われた人で、公文もこれを、目指す。
「でも、太郎さんは、ちっとも計算が、速くならなかったのよね」
その理由を、解明するんだ。
「理由？」
数学の計算で、 のような計算をしなければならないことは、非常に多い。
私は、公文で、このような計算をしているうちに、ある法則に気付いた。
「えっ、どんな？」
１のくらいの１と３を見たとき、そこから８を思いつく、法則。
「全部の組み合わせ、この場合だったら、１０かける１０で、１００通り、全部暗記したの？」
オイラーなら、やったかも知れないけど、私は、覚えることは極力少なくが、モットーだ。
「じゃあ、どうするの？」
５１の１のくらいの１から、３を引こうとするから、難しいんだ。
私は、３から１を引いた。
「そんなことして、意味があるの？」
３から１を引くと、２だ。
「当たり前じゃない」
あわてるな。この２を、１０から引いてごらん。
「えっ、 だけど」
その８、どこかで見なかった？
「エッ、計算結果の４８の８。ウソッ、偶然よ」
私も、最初、偶然だと思った。
だが、公文で、引き算をするたびに、これを、試していて、１度として、失敗したことはない。
「ちょっと待って。じゃあ、
３５２
－ ８９
＿＿＿＿
というのは、どうやるの？」
まず、９から２を引く。７だ。これを、１０から引く。すると、３だ。だから、１のくらいは、３だ。
３５２
－ ８９
＿＿＿＿
３
次は、８から５を引きたくなるだろうが、私は、繰り上がりや繰り下がりの１は、書かない主義だった。
２より大きな９を引いたのだから、５からひとつ１０が引かれていることを思い出し、１０のくらいは４から８を引く。
さっきの法則を使い、まず、８から４を引く。４だ。これを、１０から引く。すると、６だ。だから、１０のくらいは、６だ。
３５２
－ ８９
＿＿＿＿
６３
１０のくらいの計算で、３からひとつ１００が引かれていることを思い出し、１００のくらいは、２だと分かる。
３５２
－ ８９
＿＿＿＿
２６３
「うわー。何よこれ。太郎さん、こんな必殺技、使ってるの？ 太郎さん、引き算、ものすごく速いんでしょ」
小学生の、まだ引き算、習いたての子よりは、速いけど、普通の人よりのろいよ。
「どうして？」
私、引き算するとき、上より下の方が大きいときは、必ずこの方法使うけど、使った後、本当に大丈夫かな？ って、普通の人と同じように上の桁から１０借りてきてという計算をしてみて、ああ合ってるな、と確認するから、逆に他の人よりのろい。
「どうして、そんな、もったいないことするの？ 太郎さん、本当なら、ものすごく計算速いはずなのに」
正確さのためだよ。
「正確さ？」
二通りの方法で、同じ答えが出たのなら、信頼できる。
「そんな、・・・。太郎さんは、実際には、どういう風に唱えてるの？」
声には出さないけど、
３５２
－ ８９
＿＿＿＿
２６３
の場合だったら、
『９ ２ ７ ３ で、３』
『８ ４ ４ ６ で、６』
というように、口ずさんでいる。
「『９ ２ ７ ３』というのは？」
『９ ２』と、下から、読み上げて、９から２を引く。そうすると、７だよね。
次に、１０から７を引くところを思い浮かべて、３というわけ。
口ずさんでるとおり書くと、
『きゅう、にー、なな、さん』
と言って、３を、解答欄に書く。上の桁も同じ。
「ちょっと待って、こういう場合どうするの？
４７０
－ ３
＿＿＿＿
計算できる？」
大丈夫だよ。
『３ ０ ３ ７』とやって、１のくらいは７。上の桁から１０引くことだけ、忘れなきゃいいんだ。
「じゃあ、
１０８
－ ６
＿＿＿＿
は？」
あはは、ひっかけようというの？
上の方が、下より大きいときは、普通に、引き算していいんだよ。
１０８
－ ６
＿＿＿＿
１０２
臨機応変にね。
「ウウッ、どうして、みんな太郎さんのような方法に気付かなかったのかしら？」
気付いてるよ。
「いつもの太郎さんの、計算の得意な数学者は気付いてた？」
いや、そういうことじゃなくて、そろばんって、これを利用して、計算してるんだよ。
「そろばん？ 太郎さん、そろばんできるの？」
いや、できないけどね。以前、お茶の水女子大卒で、東京大学大学院の工学部の修士にいた、さっちゃんという人に、この話をしたら、その人のお母様が、そろばんで同じことやってるって、教わったんだ。
「さっちゃん？ 幼稚園の時の？」
いや、別な人だよ。
麻友さんの精神衛生上言っておくけど、ガールフレンドじゃないからね。その人には、彼氏がいたし。
「ほんっと、太郎さんの女の人好きは、どうしようもないわねぇ。それで、いつもの流れだと、この後、集合論とか出てくるんだけど」
麻友さんと私は、自然数というものを作って、次に整数を作ったのだった。
「『１から始める数学』の最後のところね。あそこは、きちんと、定義をしなかった」
少し、復習しようか。
「まず、座標を使い始めたのよね」
そう。
じゃあ、座標の定義から始めようか。
定義 ２６ 座標
を自然数とするとき、
のように、括弧（かっこ）でくくって、２つの自然数を書いたものを、自然数に値（あたい）をとる座標（ざひょう）という。
の時には、
が成り立っているものと、約束する。
定義 ２６ 終わり
「『成り立っているものと、約束する』というのは？」
つまり、 の場合以外は、
と書いてはいけないということだよ。
「なんか、当たり前ね」
当たり前と思うことは、覚えなくていい。
「次は、傾き１の直線よね」
それを、やるためには、どうしても、自然数全部の集合を、とらえなくてはならない。
「自然数全部の集合って、考えちゃいけないの？」
いけないかどうか、というより、問題なのは、自然数全部の集まりが、集合になるかという問題なんだ。
「そりゃ、集まりなんだから、集合でしょ」
大学へ入学したての頃は、私もそうだった。
若々しくて、いいねぇ。
じゃあ、とりあえず、自然数全部の集まりは、集合だ。
公理 ２７
自然数全部の集まり、
は、集合である。
公理 ２７ 終わり
「公理にしちゃうの？」
だって、証明できないだろ。
「そういうものかしら？」
私達は、とりあえず今、これが成り立っていることが、どうしても必要だが、証明はさしあたってできない、というとき、それをとりあえず、公理として取り入れ、後でそれが定理として証明できれば、その公理は、必要なかったとして、取り除くという立場を取る。
「で、なんか自然数なら、natural number で、 っていうのも分かるけど、右辺のだらだらっというのは、何？」
これ、自然数の集合のきちんとした表し方なんだ。
「どう読むの？」
まず、
を、切り出し、さらに、その括弧の中を見ると、
と、なっている。
『』
というのは、『かつ』という記号だ。だから、 かつ
が、成り立つというわけだ。
「つまり、 には、
が入っていて、全部の
について、
ならば、
が、成り立つということ」
「あっ、そうか。１が入ってて、１が入ってれば、１＋１も入ってて、１＋１が入ってれば、１＋１＋１も入ってて、というように、自然数全部が、入ってることになるのか」
実は、細工はそれだけではない。
「他に何か？」
についての条件は、
だから、いきなり誰かが、
に、
も加えろといって、加えた場合、
というのも加えると、条件を満たしてしまう。
「あっ、そんな無茶な」
無茶でも、可能だ。
「でも、自然数に、そんなのが入ると困る」
そこで、
では、外側に、 というのがある。
の元、
というのは、１を含んでいて、その中の元に１足した元を含んでいるような集合を、
とするとき、すべての
に含まれているような元だけである。
となる。
「つまり、全部の、 の可能性の共通な部分ということかしら？」
そういうことだね。
集合論の、『 （エニ）』や、『
（要素）』や、『
（ならば）』など、良く覚えていたね。
「太郎さん、手加減しないものね」
さて、自然数の集合を考えることで、傾き１の直線上の点を、表したいのだった。
麻友さんには、もうできるよ。
「じゃあ、例えば、，
，
，・・・、という線だったら」
「 という感じかしら」
素晴らしいねぇ。
「私達は、この集合を、整数の２として、扱うのよね」
そうだ。
一気に、定義を書くと、
定義 ２８ 正の整数
を、自然数とするとき、集合、
を、整数の と呼び、混乱の恐れのないときは、これも、
と書く。
定義 ２８ 終わり
「一応、聞いておきたいんだけど、集合を表す、 というのは、
の部分に条件を書いて、その条件を満たす、
とかなんかの集合という意味よね」
良く分かっているね。
条件が、具体的なときは、分かるけど、抽象的になると、分からなくなる、という声は、よく耳にする。
例えば、
という集合は、３以上５以下の数の集合だ。
「それは、自然数で、考えてるの？ それとも実数？」
おー、特待生の冴え、バッチリじゃない。
実は、上の書き方では、自然数なのか実数なのか、はたまた有理数なのか、曖昧なんだ。
実数の場合には、正確には、
とするか、
としなければ、ならない。
「正解が、２つあったりして、いいの？」
数学も、このレヴェルになると、正解が何通りもある、なんてのが、ざらにある。
あまり、神経質にならないで。
「ところで、座標と言っているのに、前回のように、座標が表す平面が、出てこないわね」
あっ、そうだね。実は、あの平面に相当するのは、座標 の
と
に、自然数の全部の組み合わせを入れたものなんだ。それを、自然数全部の集合
の直積（ちょくせき）という。
定義 ２９ の直積（ちょくせき）
と、定義して、左辺を、自然数 の直積（ちょくせき）という。
とも書く。
定義 ２９ 終わり
この前の写真を持ってくると、
などだね。
「まだ、ゼロを定義してない」
そうだ、そうだ。
定義 ３０ 整数のゼロ
以下の集合を、整数のゼロと呼ぶ。
定義 ３０ 終わり
「まだ聞いてなかったと思うんだけど、 というのは、左辺を右辺が表すもので定義するという記号？」
そう。
分かってるじゃん。
「高校までだと、これをどう表したらいいんだろう、みたいに思ってたものが、集合論の記号を使うと、少しクリアーになるわね」
そのために、麻友さんを、公理的集合論の門くぐらせてあげた。
「じゃあ、やってみるわよ」
「負の整数の定義、
定義 ３１ 負の整数
を、自然数とするとき、集合、
を、整数のマイナスエヌと呼び、混乱の恐れのないときは、これを、 と書く。
定義 ３１ 終わり
どうかしら？」
一応、整数の定義は、できたね。
でも、足し算ができなきゃ、何にもならない。
「あっ、そうだったわね。こんな集合を、整数にしたのは、これだと足し算の定義が、ウェルデファインドになるからだった」
良く覚えてたね。
「これだと、足し算が、簡単なのよ。
定義 ３２ 整数の加法
上手く書けないわ」
うん。麻友さんの語彙では、それは、無理だね。
あの時、言葉だけ教えた、『同値類（どうちるい）』という概念を使わないと、書けない。
まず、自然数の直積、 のうち、例えば、
という座標の点は、
という集合に属している。そして、同時に２つのこういう集合に属していると言うことはないね。
「傾き１の直線が交わることはないから、確かにそうね」
そういうとき、 のような集合のひとつひとつを、同値類と言って、
は、
の同値類に属すという。
そして、これが重要なんだけど、 の属す同値類のことを、大括弧でくくって、
と、表すんだ。
「代表だけで、全体を、表しちゃうの？」
これはねぇ、最初は、すっごく気持ち悪いと思う。
私も、大学に入学したばかりの頃、川口周君の『代数概論』のゼミに出ていて、どうしても分からず、困っていたとき、川口君が、
『 というのは、
みたいなものなんですよ』
と、書いてくれて、
『ああ、代表だけ取ってきたようなものですか』
と、分かったというわけなんだ。
「太郎さんでも、分からなかったのなら、安心ね」
これは、実際に使ってみると、納得できるんだ。
麻友さんが、書きかけた、加法の定義を書こう。
定義 ３２ 整数の加法
２つの整数、 と
に対し、それらの和を、
によって、定義する。これを求める算法を、加法という。
定義 ３２ 終わり
「ここまでくると、何が定義なのか、分からないわ」
や、
に、実際に、数字を入れてみれば、いいんだよ。
「 としてみたわ」
「左辺は、５と－３だわね。だとすると、足して２になればいい」
「右辺は、 だから、おっ、確かに２になってる。ウェルデファインドの霊験あらたか」
ほらね。具体的に数字を入れると、分かるんだ。
「でも、さっきは、ひとつの代表で、計算したでしょ、他の代表だったら、同じ答えになったのかしら？」
特待生は、そういう質問しなきゃね。
まず、同じ集合の代表だと、どういう共通点がある？
「正の整数でも負の整数でも、座標の前と後ろに同じ数が足してあると、共通の集合のはずなのよね。例えば、
例 ＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
定義 ２８ 正の整数
を、自然数とするとき、集合、
を、整数の と呼び、混乱の恐れのないときは、これも、
と書く。
定義 ２８ 終わり
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
というのでも、そうなってる」
そうだ。
だから、他の代表に代えると言うことは、座標の前と後ろに、同じ数を足すか、座標の前と後ろから、同じ数を引くということだ。
「そっか、そっか、他の代表に代えたとき、例えば、座標の前と後ろから、３引いたのなら、２つの整数を足した結果の座標でも、前と後ろから、３ずつ引かれてるんだ。だから、結果の数自体は、変化しないんだ」
良く分かったね。そうなるように、うまく仕組んであったんだよ。
「今日は、引き算の話だったけど」
最後に、整数の引き算を、定義しよう。
「もう、簡単ね」
「まず、プラス、マイナスを反転させることを、定義しなきゃね。
定義 ３３ マイナス
整数、 に対し、
によって、マイナスエヌを定義する。
定義 ３３ 終わり
これで、いいわね」
マイナス１をかけた数を、数学では『加法の逆元』という。
「かほうのぎゃくげん？」
そう。だから、 は、
の加法の逆元だ。
「そうすると、
定義 ３４ 減法
整数 に対し、
を、エム引くエヌといい、この演算を減法という。引き算ともいう。
定義 ３４ 終わり
この場合も、引き算がウェルデファインドかどうか、確かめなければダメ？」
加法の逆元が、ちゃんと定まることだけチェックすればいい。
「どうして？」
だって、麻友さん、もうウェルデファインドであること、確かめてある、足し算使って、引き算を定義したから。
「あっ、そうか」
小学校では、 など、計算できない引き算もあった。
だが、私達は、０を作るとき、同時に整数全体も作った。
計算できないことはない。
「整数全体は、なんと表すの？」
と、表すんだけど、これは、昔、『解析入門Ⅰ』の問題解いていたとき話したように、ドイツ語のＺａｈｌｅｎ（数）から、来ている。
「あの『解析入門Ⅰ』の問題、まだ解いてないわよ」
うん。そろそろ、麻友さんに説明できるかなあ。
「聞くところによると、ものすごい難しい問題だったそうじゃない」
高校生には、難しいけど、数学の中で、めちゃくちゃ難しい問題ではない。
「じゃあ、そのうちやってね」
もちろん。
「それにしても、今日の引き算は、びっくりよ」
これも、一度書いてみたい話題だったんだ。
「『安浪京子ＶＳ松田太郎』は、まだあるの？」
あと、もう１回、小数のかけ算をやろうと思ってる。
「今日は、長かったわね」
３日くらい書きためたから。
「ちゃんと、寝てる？」
薬を飲む理由が分かったから、ちゃんと飲んで寝てる。
「太郎さんと、授業の動画作るの、楽しみにしてるわよ」
こちらこそ。
「おやすみ」
おやすみ。
現在２０１８年４月９日２１時２８分である。おしまい。
