現在２０２４年１０月２１日１９時３９分である。（この投稿は、ほぼ２４１５文字）
麻友「ここのところ、他ブログ更新情報が、多かったから、このブログの投稿は、久し振りね」
私「本当は、このブログに書く方が、多くの人の目に触れて、良いのだけど、どうしても、分野ごとに分けないと、検索しにくい」
若菜「カテゴリーに、分ければ良かったのに」
結弦「あぁ、でも、お父さん、自由に書きたいから、カテゴリーに縛られたくなかったんだろうな」
私「さて、今日は、『多様体と幾何学』のブログで進んでいる、『解析入門Ⅰ』に関連して、開集合というものについて、書こうと思う」
麻友「『解析入門Ⅰ』の投稿で書けば良いのに」
私「実は、『解析入門Ⅰ』には、書かれていないことなんだ」
若菜「難しいのですか？」
私「『解析入門Ⅰ』では、最初から最後まで、面倒な議論が、続いていた。だが、『多様体の基礎』へ進んで、もっと楽な方法があったことに気付いた」
結弦「面倒なのには、理由があったのかも」
私「とにかく、話してみよう。麻友さん達は、関数と言ったら、１変数で、実数値の関数しか知らないのかも知れない。例えば、 で、
みたいなもの」
麻友「一次変換とかも、関数なら、３変数で、ベクトル値関数も、あるかも」
私「おーっ、やる気ある。それでこそ、外国で、大学へ行っているだけある。ところでね、『 という関数が、連続関数である』というのを、正確に言えるかな？」
結弦「どこか、１箇所の点で、連続というのを言って、定義域のどの点でも連続って拡張するのじゃ、駄目なの？」
私「それで、いい。やってみて」
結弦「 が、成り立っていれば、点
で、連続ということ。次は、点
が、定義域、この場合、
から、
のどの点でも良いから、定義域全体で、連続」
私「そう。それで、十分」
若菜「どこで、開集合？」
私「さて、開集合の話をするんだが、まず１次元の実数直線上で、開区間って、分かるのかな？」
麻友・若菜・結弦「しら～」
若菜「ちょっと、語彙が違いすぎます」
私「そのようだな。難しい話ではないので、例を見せる」
私「実数直線上で、
というのを、閉区間といい、一方、
というのを、開区間というんだ。 や、
に限ったことではない」
結弦「カッチリと、境界まで含んでいるのが、閉区間。境界が曖昧なのが、開区間ということ？」
私「そうなんだ。良く分かっている。１次元の数直線上の話が、分かっていれば、２次元、３次元になっても、恐いことは無い。だが、今日は、もう眠くなった。最後に、結弦に計算すると約束した、
の証明を、やろう」
麻友「あっ、それ、問題１９，２０でも、使ってた」
私「そう。あっちこっちで、書いた。
（微分の定義）
（対数の性質で引き算は割り算になる）
と置くと、
のとき、
である。これを用いて、
（
も
に行くという点に気付くこと）
は、自然対数の底の定義の１つだから、（
の定義を覚えていなければ、どうしようも無い）
が、導かれる。初心者にはしんどいだろうが、やがて慣れていくものである。」
麻友「頑張ったわね」
私「開集合、また続きをやるよ」
若菜「楽しみにしてます」
結弦「開集合って、お父さんが苦労して読んでいる、『集合と位相』のメインテーマなんだろ、時間かかりそう」
私「それは、分からない。今日は、解散」
現在２０２４年１０月２１日２３時２６分である。おしまい。
