女の人のところへ来たドラえもん

21歳の女の人と43歳の男の人が意気投合し、社会の矛盾に科学的に挑戦していく過程です。                    ブログの先頭に戻るには、表題のロゴをクリックして下さい。                                   数式の変形。必ずひと言、添えてよ。それを守ってくれたら、今後も数学に付き合ってあげる。

超実数そして実数

 現在2022年9月12日14時21分である。(この投稿は、ほぼ3065文字)

麻友「あらっ、やっぱり、実数やるの?」

私「超実数やるという、約束は、反故にしたくない」

若菜「難しいんでしょ?」

私「ここが難所、というところは、明記する。すでに、真理のカメさんの話は、ある程度話してあるので、利用する」

結弦「ああ、真理のカメさんね。存在だけが、言えて、実際には、作れないとか」

私「その存在だけ、というのも、丁寧に説明する」


麻友「そもそも、私達は、分数、つまり、有理数と、その足し算引き算掛け算割り算は、一応、知っていることに、なってる」

若菜「次は、小数でした」

私「例えば、{0.25} というのを、分数で、表すと?」

若菜「{\displaystyle \frac{1}{4}} です」

私「本当か?」

若菜「はい」

私「他に、{\displaystyle \frac{1}{4}} になる小数は、ないか?」

若菜「ないはずです」

麻友「若菜、気を付けた方が良いわ。こういうとき、太郎さんは、とんでもないものを、隠しているから」

若菜「大丈夫です。{1} 割る、{4} は、{0.25} です」

私「証明できるのか?」

若菜「疑うなら、計算機で、{1} 割る {4} とやって、{0.25} です。これでも、疑うのですか?」

私「高校3年生なら、それで、十分だ。だが、大学の理学部に入ったら、それでは、済まされないぞ。

{w=0.249~999~999~999 \cdots}

の、{w} を、計算してみろ」

若菜「ハッ、それは、卑怯。ああでも、お父さんを甘く見ていた」


結弦「この {w} って、求まるの?」

麻友「私に会ったばかりの頃、あの人は、本来、こんなレヴェルの低い質問をする人では、ないのに。と言いつつ、書いてた。あれは、高原さんよね。『元素の周期律表で、銅銀金が、縦に1列に並んでいるのは、似たような性質の元素が縦に並ぶように、周期律表というものは、できているからだ』と、太郎さんが言ったら、『こじつけのようにも、思えるけど』と、切り返してきたから、太郎さんは、一目置いていた人だった

27182818284590452.hatenablog.com

の投稿ね」

私「ポートに移って、トントンには、行ってないから、分からないが、高原さんも、ご健在だろうか」

麻友「太郎さんが、喜んでいたのよね。渡辺麻友って、知らなかったの、高原さんぐらいだったから」

私「少しでも、麻友さんを知らない人が、いないと、結婚なんて、おぼつかないじゃない」

麻友「余りに、知れ渡っていた、私とは、結婚できなかった。でも、大学生には、上の{w} が、計算できるの?」

私「理学部なら、できるかな? こうやるんだ」

{w=0.249~999~999~999 \cdots}

 両辺に、{100} を掛ける。

{100w=24.9~999~999~999 \cdots} ♥

 両辺に、{10} を掛ける。

{1000w=249.999~999~999 \cdots} ♠

 小数点以下は、どちらも、{9} だけで、同じだから、♠-♥ を、計算すると、

{900w=249-24=225}

となり、両辺を、{25} で、割れるな。

{36w=9}

だ」

若菜「もういいです。{\displaystyle w=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}} です。私の負けです。実数の10進小数展開は、一意的では、ないのですね」


私「若菜が気付いたように、小数での実数の表し方は、一通りではない。二通りに表されることがある」

結弦「これ以外にも、あるの?」

私「どっかの桁で止まるか、{999~999 \cdots} とどこまでも、{9} が、続くか、の場合だけ」

若菜「なんだ、それだけ。お父さんのトラップに、引っ掛かったわ」

麻友「7年半前のことを、持ち出されるなんて、高原さんも、良い迷惑だわ」

私「優秀な人だった、という話なんだよ。私に、化学で口答えできるなんて、大学のときの人か、父くらいなものなのだから」

結弦「これを、糸口にして、実数を、定義するの?」

私「そういうことだ」


麻友「小数で、表せるものが、実数なのよね。一方、分数で表せるものが、有理数で、実数の一部。そうなんだけど、私、思うのよ。有理数でない {\pi} だって、普段使うときは、{3.14} と、有限な小数で、ある意味有理数で、使っている。無理数であることを証明した、{\sqrt{2}} だって、{1.414~213~56} と、途中までで、使ってる。つまり、小数は、必要な精度まで、近似できればいいのよ。こういう、近似していく数字の列って、なんて言うのかしら?」

私「数列だね」

若菜「理系だと、高校2年で、習いますね。数列で、実数を、近似するとすると、例えば、

{\sqrt{2}=(1,1.4,1.41,1.414,1.4142,1.41421,1.414213, \cdots)}

みたいに、段々近付いて行く数列で、{\sqrt{2}} を、表すとか」

私「数列というものは、数学で、非常に大切な概念なので、何通りも書き方がある。若菜の、

{(1,1.4,1.41,1.414,1.4142,1.41421,1.414213, \cdots)}

も、1つの方法だが、他に、

{(a_n)_{n \in \mathbb{N}}}

で、{a_0=1}{a_1=1.4}{a_2=1.41}{a_3=1.414}

とやるのもあるし、

{(a(n))}

で、{a(0)=1}{a(1)=1.4}{a(2)=1.41}{a(3)=1.414}

と、表す方法も、ある」

麻友「こういう風にして、超実数。特に、無限大超実数や、無限小超実数も、作れるの?」

私「実は、宝塚の自然数から、{0} が、欲しかったとき、負の数を含めて、整数が、定義できちゃったよね。同じようなことが、起こる。有理数から、実数を作るとき、一気に超有理数というものが、できてしまうんだ。それを、無限に近い数同士束ねると、実数となる。そして、それらを利用して、超実数ができる。楽しみにしていてくれ」


若菜「もう3000文字近くなってますし、早いですが、投稿したら、どうですか?」

私「分かった。じゃあ、バイバイ」

若菜・結弦「バイバーイ」

麻友「バイバイ」

 現在2022年9月12日17時57分である。おしまい。