現在２０２２年９月１７日４時３８分である。（この投稿は、ほぼ５０５５文字）
麻友「難しさ３．半端でないわね」
私「まだ、数式は、それほど、出てきてないけど、知らない言葉、だらけだろう」
若菜「実際、
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
麻友「その、可算級というのと、 級というのは、どっちが、強いの？」
結弦「なんか、ウルトラマンと、仮面ライダーは、どっちが強いの？ というレヴェルの会話に聞こえるけど」
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
（前回の投稿より）
のところしか、分かりませんでしたけど」
私「段々、慣れるしか、方法は、ない。後、大江さんのカッコも、使ってね」
結弦「そうだった」
私「早く目覚めたんだし、具体例も含めて、丁寧にやろう」
麻友「何度も出て来る、フィルターって、何なの？」
私「齋藤さんの本、
では、第１章 §１ 超フィルター の最初 フィルターの小節で、のっけから、
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
１．１．１ 定義
を空でない集合，
を
の羃（べき）集合，すなわち
の部分集合の全体とする．
の空でない部分集合
がつぎの三条件をみたすとき，
を、
上のフィルター（filter）という：
ａ）
ｂ）
ｃ）．
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
（齋藤正彦『超積と超準解析』９ページより）
と、フィルターの定義から、始まる」
麻友「あっ、今、寝てた」
私「２時５８分に起きて、眠くなかったのが、５時半頃、やっと眠くなって、８時３２分まで、エアコン止めて、寝てたんだ。風邪引かないようにね」
若菜「『超積と超準解析』の、最初が、フィルターの定義なんですか？」
私「一応、序章として、集合論の要約というのが、８ページあるけど、私の、NKとBGの要約 と、五十歩百歩のようなもので、集合論を、知ってなければ、とても、読めない。その後、第１章で、最初から、フィルターだ。河東さんが、中学時代に読めたなんて、恐ろしい」
結弦「もう一度、真理のカメさんの、条件を、振り返ると、
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
私「ジャーン。真理のカメさんとは、次のような性質を持つ という集合なのです」
１． は、自然数全体の集合
上の可算級善良超フィルター
２．可算級善良超フィルターとは、この場合、次の条件を満たすことである。
ａ）
ｂ）
ｃ）
ｄ） の任意の部分集合
に対し、
または
ｅ） は有限集合を含まない。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
なんだ、最初の３つは、フィルターの条件じゃ、ないか」
私「実は、４番目のｄ）が、フィルターが、超フィルターになるための条件。５番目のｅ）が、単項でないための条件なんだ」
麻友「あれっ、
１．１．１３ 命題
自由超フィルターは単項でない．とくに が、可算集合なら、逆も成立つ．
と、強調してた。そもそも、可算って、何よ」
私「とうとう、これを、話す日が、来たか。大学に入って、最初の数学の授業で、先生が、話したのは、有理数の個数と、実数の個数は、同じ無限と言っても、違いがある。実数の方が、多いのだ、ということの、証明」
若菜「覚えています。お父さんは、それを、高校時代から知ってて、授業が、終わった後、先生に、有理数の無限の量と、実数の無限の量の、中間の無限の量の集合というのは、あるのですか？と、聞いた。連続体仮説ですよね」
私「その、無限にも色々あるという証明を、しなければならない。これは、分からなかったら、大江さんのカッコに、入れておいて欲しい」
麻友「有理数は、可算無限集合。実数は、連続無限集合とか、ちらっと、聞いたけど」
私「大学から、中退してきて、２００７年に、
を、読み始めて、びっくりした。第１章の最初、名詞の説明で、
普通名詞と集合名詞を合わせて、可算名詞と言う。
固有名詞と物質名詞と抽象名詞を合わせて、不可算名詞と言う。
というように、書いてある。可算という言葉が、文系と理系で、違う意味を持ってる」
麻友「あー、そこまで、英文法学んでいないから、分からない」
若菜「数学で、可算と言ったら？」
私「自然数の集合と、１対１に、対応させる、関数が、作れる集合を、可算集合と言うんだ」
若菜「対応させられれば、いいんですか？」
私「これも、実は、問題を、孕んでいて、それは、３０年以上前の父との会話に、現れている」
結弦「お父様？ つまり、僕のおじいちゃん？」
私「そう。大学２年生の頃、可算と、非可算の話を、素人にしようと、雑誌で読んだことを、もとに、父に、こんな話をした。
私「無限にも、色々あるんだ。例えば、パーティーの出席者が、無限の人数いたとしよう。今、男の人と、女の人が、ひとりずつ、手をつないで行ったら、女の人のひとりが、あぶれたとしよう。これは、女の人の方が、１人多い、ということに、なるだろうか」
父「同じだって、言いたいんだろう」
私「そう。全員が、１人ずつずれた人と、握手し直して、あぶれていた女の人とも、手をつなぐ、男の人を、生み出せば、いいんだ」
父「それで？」
私「ところが、有理数全体と、実数全体とでは、この全員が、手をつなげるということが、できないんだ」
父「どうやって？」
私「分数を、
みたいに、並べて、自然数で、順番つければ、良い」
麻友「ちょっと待って、 と、
は、ダブってるわ」
私「自然数より、多いはずの有理数を、ダブって数えても、自然数で、全部、手をつないであげられるんだから、後で、抜かせばいいだけだよ」
麻友「あっ、そういうことなの」
父「うーん」
私「それでね、実数にも、同じように、自然数と、手をつなげさせて、あげたいんだよ。だから今、自然数と実数が、ひとりずつひとりと、手をつなげたとする」
実は、私は、父がこの話を飲み込めず、参ったと言いたくないだろうと、分かっていた。だから、布石を打っていたのだ。『手をつなげたとする』というのは、もう対応させる関数が、できているということであり、その後、どうこうということではない。だが、父に、逃げ道を用意していたのだ。
私「例えば、
１ に対応するのは、０．２３６７６４６７・・・
２ に対応するのは、０．５３４８７８９８・・・
３ に対応するのは、０．３９８７６５５７・・・
みたいに。全部対応しそう。ところが、嫌な奴が、いるんだよねえ。
１ に対応するのは、０．２３６７６４６７・・・
\
２ に対応するのは、０．５３４８７８９８・・・
\
３ に対応するのは、０．３９８７６５５７・・・
みたいに、対角線のところを、見ていって、新しく、０．３４９・・・みたいに、１番とは、小数点以下第１桁目が、違い、２番とは、小数点以下第２桁目が、違い、３番とは、小数点以下第３桁目が、違うって、言うんだ。手をつないだ関数が、あるって言ってるのに、手をつなげていない実数を、持ってくる。じゃあ、改めて、見つかった実数を、加えて、手をつなぎ直したら良いのかと思うけど、また、新しい実数を、持ってくる。これの繰り返しで、切りがないから、実数と自然数は、同じ量ではないということなんだ」
父「手をつなぐには、無限の時間が、かかるから、駄目だっていうのか。無限の時間がかかっても、良いじゃないか」
私「（予想通りだと思いながら）それじゃ、定義を変えなきゃ、ならない」
父「それは、お前の数学なんだろう。俺の数学では、手をつなぐのに、無限の時間がかかっても、良いんだ。太郎のインチキ、見つけたぞ」
麻友「太郎さんは、予想通りと、言ってるけど、お父さんが、『インチキ、見つけたぞ』というのが、分かっていたの？」
私「無限の時間がかかるから、無理。というのは、実は、正しい捉え方ではない。あくまでも、関数を作った、と言っているのだから、もう対応づけは、終わっているのである。『改めて、見つかった実数を、加えて』などというのは、本当は、有り得ない」
若菜「お父様が、どういう逃げ方をするか、或いは、予想外の逃げ方をするか？ ということに、ポイントが、あったのね」
麻友「でも、お父様とのやりとりを、話ながら、太郎さんは、実数の無限の量が、自然数の無限の量よりも、また、有理数の無限の量よりも、多いということを、大雑把ではあるけど、証明してきた。ガールフレンドとの会話で、理学部新入生が、舌を巻くほどのことを、さらっと、書いてしまう。難しさ３．なんて、看板だけよ」
結弦「でも、可算っていうの、ちょっと分かった気がする。対応させる関数が、あるかどうか？ って、ことでしょ」
私「若い方が、頭が、柔らかいな」
若菜「昨日の会話で、
『 級の、
の一番低レヴェルな場合が、
級、つまり可算級だ』
というのも、ありましたけど、可算というのは、無限集合で、一番少ないものなのですか？」
私「それは、まさにその通り。だから、余り大きい無限集合を考えなくて良いときは、可算級のフィルターで、用が足りるということ」
麻友「あっ、そういうことなのね。だから、太郎さんは、可算級で、満足できるんだ」
若菜「いずれにせよ、お父さん。もう５０００文字近い。取り敢えず、ここまでで、投稿しては？」
私「分かった。じゃあ、解散」
現在２０２２年９月１７日１２時１５分である。おしまい。
