超実数そして実数（その２３） - 女の人のところへ来たドラえもん

　現在２０２３年７月３０日１５時４１分である。（この投稿は、ほぼ７４８３文字）

麻友「超実数の的が、絞られて来たわね」

私「ここからでも、結構道のりは、あるんだ。でも、証明が完全でないものも、含めて、一応認めて、最後まで、見てみよう」

結弦「真理のカメさんは、

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可算級善良超フィルターとは、この場合、次の条件を満たすことである。

　ａ） ${\emptyset \notin \mathscr{F}}$

　ｂ） ${A \in \mathscr{F} , A \subset B \Rightarrow B \in \mathscr{F}}$

　ｃ） ${A,B \in \mathscr{F} \Rightarrow A \cap B \in \mathscr{F}}$

　ｄ） ${\mathbb{N}}$ の任意の部分集合 ${A}$ に対し、 ${A \in \mathscr{F}}$ または ${\mathbb{N} - A \in \mathscr{F}}$

　ｅ） ${\mathscr{F}}$ は有限集合を含まない。

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だったな」

若菜「昨日の最後の会話、

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結弦「数列を使うんだ。

${x=(0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,\cdots)}$

みたいなのは、有理数列だ」

若菜「他に、例えば、

${y=(-0.1,-0.1,-0.1,-0.1,-0.1,-0.1,\cdots)}$

なども、有理数列ですね」

麻友「 ${x+y}$ は、数列の方の足し算で、定義して、

${x+y=(0.1-0.1,0.1-0.1,0.1-0.1,0.1-0.1,0.1-0.1,0.1-0.1,\cdots)}$
　　　　 ${=(0,0,0,0,0,0,\cdots)}$

となりそうね」

私「有理数列の足し算を、そう定義する。このとき、 ${x+y=0}$ だろうか？」

若菜「これは、

　　　 ${x+y=(0,0,0,0,0,0,\cdots)}$

と、

${0=(0,0,0,0,0,0,\cdots)}$

で、同じ数の番号のところが、０番目、１番目、２番目、３番目、と、全部なので、無限集合。であり、その補集合は、 ${\emptyset}$ なので、真理のカメさんは、この、０番目、１番目、２番目、３番目、という集合を、持っている。だから、真理のカメさんは、『持っているよ』という。真理のカメさんが言ったのだから、 ${x+y=0}$ は、成り立ちます」

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　　　　　　　　（『超実数そして実数（その２２）』より）

私「上の議論での、真理のカメさんが、持ってるとか、持ってないとかいうのは、例えば、

${x=(0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,\cdots)}$

と、

${z=(0.1,-0.1,0.1,-0.1,0.1,-0.1,\cdots)}$

という２つの有理数の数列で、同じ数字のところが、この場合、順番が、

${\{0,2,4,\cdots \}}$

となって、偶数全部。つまり、無限集合。だから、この順番の集まりは、カメさんは持っているかな？　と思いきや、これの補集合、

${\mathbb{N}-\{0,2,4,\cdots \}=\{1,3,5,\cdots \}}$

は、奇数全部となる。カメさんの条件の、

　ｄ） ${\mathbb{N}}$ の任意の部分集合 ${A}$ に対し、 ${A \in \mathscr{F}}$ または ${\mathbb{N} - A \in \mathscr{F}}$

によれば、偶数全部、または、奇数全部のどちらかは、カメさんが持っているはずだが、どっちなのか、カメさんも、ためらいがちだ。ただ、やっぱり真理のカメさんだ。必ず答えてくれる。それには、過去に似たものを、どう答えてきたかを、チェックする。例えば、次の様なやりとりが、過去にあったとする。

${a=(2,0,2,0,2,0,2,0,2,0,2,0.2,\cdots)}$

${b=(3,0,3,0,3,0,3,0,3,0,3,0,3,\cdots)}$

とは、等しい？　という質問。『どう見たって、これは、違うのでは？』と、思っていたら、カメさんが、『それ、持っている』と、答えてきた。『どうして？』と、聞き返したら、『奇数番目が、全部等しいよ』だって。そう、カメさんはそういう風に、過去のことを参照することが、できる。だから、過去に、奇数全部が入っている集合を、『持っているよ』と言ったのなら、今回、偶数全部と、奇数全部の、どちらかとなった場合、奇数全部のを、持っていると、答える。すなわち、この場合、

${x=(0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,\cdots)}$

と、

${z=(0.1,-0.1,0.1,-0.1,0.1,-0.1,\cdots)}$

で、等しい番号のところは、 ${\{0,2,4,6,8,\cdots\}}$ で、偶数全部。一方、その補集合が、奇数全部。両方合わせれば、自然数全体だから、それらは、互いに補集合だが、過去にカメさんが、奇数全部が入っている集合を、『持っているよ』と言っているので、この場合も、カメさんは、それを勘案して、『等しいところの番号を持ってない』『 ${x \neq y}$ だよ』と、答えてくる。ここまでは、本来なら、昨日書くつもりだったことだ」

若菜「お父さん、実は、こんなことまで、考えて、書いて来ていたんですか？」

結弦「超準解析って、この後、無限大とか、無限小って、いくらでも、先があるんだね」

麻友「ちょっと、暴走ぎみだけど、ちょっと、このまま、暴走してみせてくれない？」

私「麻友さんが、暴走して良いというなら、以前の、超実数の見取り図を持って来て、やってみせるよ」

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　このブログで、我々は、まず自然数を作り、それから、整数を、作った。

　その次に、整数から、有理数を作るつもりだった。

　ここまでは、誰でも、ある程度、先を予想できる、ことなんだ。

「まあ、そうね。有理数の次って言うと、実数？」

　普通に考えたら、そうだ。

　だが、『１から始める数学』を、始めた時から、私には、野望があった。

「えっ、そんな前から？」

「どんな野望？」

　前から、チラッチラッと、話してきた、無限に大きい数とか、無限に小さい数、を扱える、『超準解析（ちょうじゅんかいせき）』というものを、麻友さんに、話そうということなんだ。

「無限に大きい数や、無限に小さい数を説明するって、宇宙の年齢求めていた、私達が、知り合ってまだ半年も経たない頃の約束じゃない」

　そろそろ、話してみようと、思ったんだ。

　難しくて、入り組んだ話だから、見取り図を、描こうと思う。

　今日は、その見取り図を描くことだけを、目標とする。

　まず、有理数の、数列というものを、考える。　（２，６，４，７，・・・）

　２つの有理数の数列が、同値、ということを、定義する。　（２，６，４，７，・・・）～（２，３，４，７，・・・）

　有理数の数列を、同値関係で、同値類に、分けることを、考える。　［（２，６，４，７，・・・）］

　有理数の数列を、同値類に分けたものを、超有理数と定義する。　 ${{}^{*}\mathbb{Q}}$

　超有理数の中で、有限な超有理数というものを、考える。　 ${\mathbb{B}}$

　超有理数の中で、無限小の有理数を、考える。　 ${\mathbb{b}}$

　有限な超有理数全体というものは、代数学で言う環というものだということを、確かめる。

　無限小の有理数全体は、上に出てきた環のなかのイデアルというものだということを、確かめる。

　環というものは、イデアルで、割る、ということが、できる、ということを、説明する。　 ${\mathbb{B/b}}$

　上でできているイデアルは、極大イデアルと、呼ばれるものであることを、確かめる。

　これにより、極大イデアルで、割ると、有限な超有理数全体の環は、体となることを、確かめる。

　この体こそ、実数体（と、同型な体）である。　 ${\mathbb{B/b \cong R}}$

　さらに、実数の数列というものを考え、改めて、２つの実数の数列というものが、同値と言うことを、定義する。　［（３．１，２，４．７，６、・・・）］

　実数の数列を、同値類に分けたものを、超実数と定義する。　 ${{}^{*}\mathbb{R}}$

　以上の過程で、必要になる、同値関係を、フィルターという考えで、作ることになる。

　このフィルター（正確には、可算級善良超フィルター）を、構成するには、ツォルンの補題というものが、使用されることを、話す。

　このフィルターは、実際に目に見える形では作れないという話をする。

　目に見えないが、あるのは確かであることを、可算選択公理の説明をしながら、話す。

　この可算選択公理から、可算級善良超フィルターの存在を示すところが、超準解析を、認められるかどうかを分ける部分だと、説明する。

　ここで、使用した可算級善良超フィルターこそ、『真理のカメさん』であり、これを、一匹冒険に連れて行くのが、解析学を容易に理解する近道である、というのが、結論である。

　これが、見取り図だ。

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（『真理のカメさん - 女の人のところへ来たドラえもん
』より）

麻友「ああ、私達、見取り図の、２番目に取り掛かった、だけじゃない」

若菜「お父さんは、４年以上前に、ここまで、考えていたんですねえ」

私「本当は、完全に、超実数を作って見せてから、話そうと思っていたことがあるんだ」

麻友「いつ頃から？」

私「宇宙の年齢を計算していた頃」

麻友「８年前くらいじゃない」

私「そう。あのとき、麻友さんが、『宇宙の年齢を求める（その２） - 相対性理論を学びたい人のために』の投稿で、１つ間違いを、してしまっていることに気付いた。もちろん、私が書いているのだから、私の間違いなのだが、

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「右辺は、４乗以降、同じものになるんだな。そして、 ${A}$ の式から、 ${\theta^2A}$ の式を、引く。乱暴だけど。」

$A-\theta^2A=(\theta^2+\theta^4+\theta^6\cdots)-(\theta^4+\theta^6+\theta^8\cdots)$

「だから、計算して、」

$(1-\theta^2)A=\theta^2$

「やった、あと少し。」

$A=\frac{\theta^2}{1-\theta^2}$

「求まったー。バンザーイ！　今日のツイッターに書こうっ！」

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27182818284590452.hatenablog.com
より。

と、なっている。実数の解析の文脈なら、間違いはない。だが、あのときは、無限大を定量的に扱える、超実数の解析をしていた。『４乗以降、同じものになるんだな』は、実は、正しくない。どうなるかと言うと、

$(1-\theta^2)A=\theta^2$

でなく、 ${N}$ を無限大超自然数として、

$(1-\theta^2)A=\theta^2-\theta^{2N+2}$

${(1-\theta^2)A \fallingdotseq \theta^2}$

と、ワンクッション置かなければ、ならなかった」

麻友「それ、いつ気付いたの？」

私「かなり前だと思う。真理のカメさん、とか言い始めるより前だと思うから」

麻友「そういう風に、いつか話そう、とか思っていることが、幾つもあるの？」

私「はっきり、いつか話そうと、覚えているものは、これだけだったけど、８年も付き合っていれば、そういうことも、できてくるじゃない」

結弦「お父さん。今日、マックに行く前に、コンビニに寄ったじゃない。なんか、印刷してたよね」

私「このブログにもあるが、リンク集に、『ＮＫとＢＧの要約』というリンクがある」

若菜「お父さんの数学の、論理学と集合論のすべてですね」

私「そう。だけど、段々、これだけで、判定できない問題が現れてきている。例えば、abc予想とか」

結弦「他の人は、見ているのかなあ？」

私「分からないので、以前、論理学の方を印刷していって、ポートで職員さんに、『１ページだけで良いですから、読んでみて下さい』と、渡してみたが、非常に困ったようで、『これは、難しいです』としか、返事がなかった」

麻友「太郎さんが、私にしているのは、同じことなのよ」

私「じゃあ、今まで、８年４カ月くらい、のれんに腕押しだったというのかい？」

麻友「太郎さんが、私と同じくらい、数学を好きだ。というのは、疑いようがないほど、分かったけど、私頑張っても、太郎さんみたいに、数学分からない」

若菜「お父さんだって、分からないことあるでしょう。例えば、マインクラフトを、教わっても、全然、試してみようともしない。お父さんにとって、数学をやる時間を、ゲームに持って行かれるのが、惜しいわけでしょう。お母さんだって、本当は、女優になろうと、修行を積んでいるんです。お父さんから、『お芝居を演ずるより、お芝居を観る方が好きなんだ』と、言われて、傷付いたけど、お母さんにとって、お父さんのために数学するより、女優になりたいという気持ちの方が、ずっとずっと、大きいんです」

結弦「いったん、お母さんと数学を、分けてみたら？２０１５年１月１５日に、精神科を退院してから、４月４日に、お母さんに会うまで、程度は低いけど、論文も２本書いている。あのときお父さんは、もの凄い躁状態で、人間を生き返らせることだって、できると、自信に満ちていた。いずみ野を引き払うとき、お父さんのお父様の前で、「シッフの『量子力学上・下』は、素晴らしい本だけど、ランダウが読めるんなら、これはいらない」と、言っている。本当だったら、８年あったら、ランダウ全巻だって、読めたんじゃないの？もちろん、お母さんに説明するために、『分かった』と思う基準を、下げたのは、悪いことだとは、言わない。でも、文系の高校卒の資格だけを持つ、お母さんに分からせられなかったら、駄目。というのは、やり過ぎ。お父さんの大学１回生入学レヴェルで、十分なんじゃない？」

私「私の大学１回生入学レヴェルというのは、決して低くはないが、何かを証明していて、『これは、麻友さんに分からない。説明しなきゃ』というのを、全部取っ払うのは、良いことかも知れない。ただ、『これは、読者の演習問題とする』とか、『詳細は瑣末となるので、省略する』とか、『明らかに、・・・』という証明の仕方は、しないことにしよう」

麻友「私、もう、数学勉強しなくて、良いのね」

私「無罪放免だよ」

若菜「お母さんが、こんなに喜んでいる顔を見るのは、久し振りです」

結弦「お父さんが、本当に、読みたい本って、どんな本なの？」

私「たくさんあるよ。

力学の基礎