女の人のところへ来たドラえもん

21歳の女の人と43歳の男の人が意気投合し、社会の矛盾に科学的に挑戦していく過程です。

整数環(その6)

 現在2018年4月30日17時20分である。

「『安浪京子VS松田太郎』の4回目ね」

 題名では、整数を扱うことになってるけど、今日は、分数や小数にも、話を広げる。

「だったら、『有理数体』とすべきだったんじゃない?」

 有理数、つまり分数を扱うためには、どうしても割り算が必要。

 でも、私達は、まだかけ算すら、正式には定義してない。

「あっ、そうか。太郎さん、足し算と引き算しか定義してないのか。かけ算は、どうやって定義するの?」

 この段階で、かけ算というものが、ものすごく難しいものだったということに、気付く。

 実は、自然数に足し算という算法だけを与えた数の体系は、無矛盾であり、同時に完全であることが、証明できる。

 これは、プレスバーガー算術と呼ばれるものだ。

「太郎さん、証明チェックしたことあるの?」

 残念ながら、この証明はまだ見てない。

 でも、Wikipediaに堂々と書いてあるくらいだから、本当だろう。

プレスバーガー算術


モイジェシュ・プレスバーガーはプレスバーガー算術に関して以下を証明した。

無矛盾 : 任意の文とその否定が共に演繹可能であることはない。
完全  : 任意の文が演繹可能であるか、もしくはその否定が演繹可能である。
決定可能: 任意に与えられた文が定理であるか定理ではないかを判定するアルゴリズムが存在する。




 演繹(えんえき)というのは、その公理から、導けるということね。

「こういう場合、太郎さんは、どう思うの?」

 多分正しいのだろうな、とは思うけど、証明をきちんとチェックするまでは、保留つきで扱う。

「『証明をきちんとチェックする』というのは?」

 私が、証明するときは、きちんと全部を論理記号で書けたな、と思ったときに、ゴーサインを出す。

「必ず、記号で書くの?」

 毎回全部を記号で書いてると大変だから、ここは前に書いたな、というところは飛ばして、新しく増えたところを、書いていく。

「それで、全部記号で書けたな、と思う?」

 思えるところまで、訓練してある。

「公理は、定めないの?」

 もちろん、ベルナイス・ゲーデル集合論の公理は、仮定する。でも、なるべく選択公理を無制限に使うのではなく、可算選択公理を意識して使っている。

「その『かざんせんたくこうり』というものは?」

 いずれ、麻友さんにも説明するよ。今は、まだあまりにも語彙が少ないから、説明できない。


「それで、自然数に足し算だけの体系は、性質が良いという訳ね」

 そういうことだ。無矛盾で、完全で、決定可能。

 矛盾しないし、正しいか正しくないか曖昧でもなくて完全だし、あらゆることが定理かどうか有限の時間で決定できる。

 素晴らしい性質だ。

「それが、自然数の性質なの?」

 いや、自然数と足し算を考えた体系の性質だ。


 もし、自然数と足し算とかけ算を考えた体系になると、完全でなくなるし、決定可能でもなくなる。

「えっ、それって、普通の自然数が、完全でないというの?」

 そう思うよね。

『普通の自然数

というとき、どういうものを、思い浮かべる?

「3とか5とか、{4 \times 12 =48} とか、{46 \div 2 =23} なんか」

 そう。その程度だよね。

 だから、そういう自然数が、完全でない、つまり、ある定理が正しいか正しくないか決定できない、なんてことが起こるとは思えない。

 ところがね、麻友さんも、以前話したから知っているように、{x^2+y^2=z^2} をきちんと満たす、自然数{x,y,z} の組は、あるだろうか? というようなものだって、自然数の問題なんだよ。

「あっ、それは、たしか、{(3,4,5)} が、答えのひとつで、もうひとつ、{(5,12,13)} というのも、あるはずよね」

 さっすが、特待生。その調子。

 今、麻友さんが、上げたようにして、実は、無限に多くの組み合わせが、見つかる。つまり、この場合には、無限に多くの自然数解が、存在する。

「無限に多くあるということは、証明できるの?」

 うん。それくらい、私を困らせなきゃ駄目だよ、聞き手は。

「太郎さん。困ってる?」

 『代数学辞典』、見れば、一般解が書いてあるの知ってるんだけど、取り出すの面倒だなって、思ってた。

「わー、見たい、見たい」

 分かった。

 ゴトゴト。パラパラ。これだな、

{(2pq)^2+(p^2-q^2)^2=(p^2+q^2)^2}

で、{p,q} を、どんどん大きい自然数にしていけば、いくらでも、自然数解が、作れる。

「えっ、これ、どうやって、使うの?」

 例えば、{p=7,q=4} とかすれば、

{(2 \cdot 7 \cdot 4)^2+(7^2-4^2)^2=(7^2+4^2)^2}

となるでしょ。だから、

{56^2+33^2=65^2}

という、ひとつの自然数解が、得られる。

「あーっ、私、これくらいのペースで、授業進めてもらえないと、ついて行かれないわ」

 今、私が、思案中なんだよ。

「何を?」

 麻友さんが、自分のブログで、『ネタ切れ』の回に、



まじで

結構やばいくらいには

不器用です。(語彙力




と、書いてて、麻友さんも、大学入ったばかりの頃の私に近いのかなあと思ってね。夏目漱石の『明暗』読んで、頭が漢字に満たされたという気持ちがしたという話、したでしょ。

 知識人としての語彙力の不足を、感じてるんだなあ、と思った。

「語彙力を高めるには、どうしたらいいのかしら?」

 他の人は、別な方法を教えるかも知れないけど、私からは、1にも、2にも、『辞書を引くこと』を、勧める。

 しかも、なるべく、辞書を引くだけでなく、『辞書を読む』こと。

「えっ、辞書を読むって?」

 例えば、今、『語彙』って言葉を、辞書で引いたとしよう。

 ただ『語彙』という言葉の意味だけを知りたい場合、

『ある人の有する単語の総体』

というところだけ見つけて、辞書を閉じるよね。

 でも、これは、非常にもったいないことなんだ。

 例えば、私の電子辞書で、『語彙』と引いた場合、



ご-い ・・ヰ【語彙】

 〘名〙(「彙」は集まり、類集したものの意)
①単語の集まり。一言語の有する単語の総体、ある人の有する単語の総体、ある作品に用いられた単語の総体、ある領域で、またはある観点から類集された単語の総体など。単語を集合として見たもの。
*国文学読本緒論(1890)〈芳賀矢一〉五「其語彙甚だ寡少にして」
②一定の順序に単語を集録した書物。文部省編輯寮の「語彙」(明治四年)、上田万年・樋口慶千代の「近松語彙」など。
*国語のため(1895)〈上田万年〉今後の国語学「文部省が斯学の名家を集めて大成せんと企てたる語彙」
③(俗に)ある単語の集まりに属する単語。用語。
*「遊蕩文学」の撲滅(1916)〈赤木桁平〉三「単に語彙句法の彫琢と、感傷咏嘆の濫費とによって捻出せられたものであるから」



というくらいの説明がある。

「太郎さん、これだけ写したということは、全部読んだのね」

 そう。よっぽどたくさん説明がない限り、解説を全部読む。余裕があれば、他の辞書も引いて比べる。

 これをやっていると、語彙力は、じわじわとではあるが、確実にアップする。

「じわじわじゃ、駄目なのよ。どんどんでなければ」

 語彙力を、どんどん上げるというのは、試験を受けるとかいうような理由でもなければ、あまり必要ではないんじゃないかな。

 だって、麻友さん、まだ、24歳でしょう。人生は、長いんだよ。じわじわっていったって、さっきの方法でも30歳になるまえに、かなりの博識になるよ。

「でも、太郎さんの辞書、高いわよねぇ」

 麻友さんのお給料もらってて、4万5千円の辞書が高いなんて。

 でもね、電子辞書でなくてもいいんだよ。

 スマートフォンで、ネットを検索してもいい。

 ただ、この場合、3行目まで読む、とか決めておかないと、いくらでも引っかかってきちゃうからね。

「ああ、ネットだと、制限がないのか」


 麻友さん。いい情報を教えてあげようか。

 私が持っているのと同じシリーズのカシオの電子辞書を買った場合、私が、フランス語の辞書のCD-ROM持っているから、ただで、フランス語の辞書を、装備できるよ。

「えっ、フランス語の辞書、とうとう買ったの?」

 うん。この間、退院したばっかりの頃、貯金が貯まって、買ったんだ。

 そんなに、無茶苦茶高いわけではなかったんだ。6,154円だったんだよ。

「それは、カシオの電子辞書に、インストールするの?」

 パソコンと電子辞書をつなぐ、USBケーブルは買ったから、CD-ROMドライブがあれば、パソコン経由でインストールできるんだ。

「何カ国語でも、入れられるの?」

 それがね、電子辞書自体のメモリは、100メガバイトしかないんだ。

 フランス語の辞書は、それ自体が、100メガバイト近くあるから、他の言語の辞書までは、入れられない。

 ただ、まだやってみたことがないので、分からないんだけど、空のマイクロSDカードを買ってきて、それに、CD-ROMの辞書をインストールできるようなんだ。

 空のSDカードは、32ギガバイトとかあるから、そういうことができれば、何カ国語も入れられるはずだよね。

「あっ、そうか。英語とフランス語と、後、韓国語も、欲しいかな」

 そうだったね。

 外国語って、最初の1つをクリアするまでが、ものすごく大変なんだ。

 私の場合、英語がある程度できるようになってからだったから、大学でドイツ語習ったとき、ほんのちょっとだったけど、今でもドイツ語読むだけなら、ちゃんと辞書が引ける。


「カシオの電子辞書と言ったって色々あるでしょ。どう選べばいいのかしら」

 さっきの『語彙』の説明が出ているのは、『精選版 日本国語大辞典』という辞書なんだ。これは、最高機種のXD-Z20000にしか積まれていない。でも、何年も使うものだし、ほんの数千円の違いで、積まれている辞書の数が圧倒的に違ってくるのだから、最上位機種にしない手はない。液晶パネルに保護フィルムを貼って大事に使えば、パソコンより長持ちするよ。

「いいものは、高いのね。でも、語彙力について、考えてくれてありがとう」

 麻友さんが欲しいのは、自分の感情を的確に表現できる言葉かも知れないけどね。

「そうなのよね」

 それは、日本語の文学の領域だね。

 そういう文学的な方面を伸ばすには、辞書を引くだけでなく、文学作品を読まなきゃね。

「太郎さんは、どんな作品を、他の人に勧めているの?」

 この前のときは、AKB48にいたから、1ページだけしか指定しなかったけど、大江健三郎の『「新しい人」の方へ』という短編集の中の、

『賞をもらわない九十九人』

という短編は、ものすごく素晴らしい。

「新しい人」の方へ (朝日文庫 お 40-4)

「新しい人」の方へ (朝日文庫 お 40-4)

 単行本と文庫があるけど、文庫の方が、大江健三郎が、あとがきを書いていて良い。

「短編ということは、すごく短い?」

 うん。たった13ページ。

「他に、若い私に良さそうな本は、ないかしら?」

 そうだなあ、うーん。

 そうか、あれがいいかな。

「なに?」

 宮沢賢治の『グスコーブドリの伝記』。

「伝記?」

 いや、小説なんだよ。

 これは、今では、無料で読める。

「太郎さんは、どうして、この本を読んだの?」

 大学で、結構授業にも出て、真面目にやってることで有名だった人がいたんだ。

 あるとき、その人に、

『最近読んだ本で、良かった本はあった?』

と、聞いたら、

宮沢賢治の『グスコーブドリの伝記』が良かった』

と教えてくれたんだよね。

 それで、即その足で、図書館へ行き、岩波文庫の色の変わったぼろぼろの本を借りだして、読んだんだ。

「これは、長いの?」

 これも、13ページほどではないけど、短編だよ。

「良かった」


「それにしても、太郎さんって、他の人が勧めてくれた本を、素直に読むのよね」

 全部、読んでるわけではないけど。

「他に、勧められて、良かった本はある?」

 京都から、帰ってきた後、私が、女の人の生き方ばかり研究しているのを見かねて、母が、この本を読んだら、と言って、渡してきた。

立花隆『青春漂流』(講談社文庫)

青春漂流 (講談社文庫)

青春漂流 (講談社文庫)

「女の人の生き方ばかり研究って?」

 ボーヴォワールや、マザーテレサや、キュリー夫人とか、私って、女の人の生き方に、すごく興味あるのね。小学校の頃から、卑弥呼の伝記とか好きだったし、『ベルサイユのばら』のオスカルとかすっごく好きだし。

「男の人の生き方は、研究しなかったの?」

 私は、『ドラえもん』の、のび太君だったんだ。

「えっ、どうして?」

 のび太君は、一番好きなしずかちゃんと結婚できるんだよ。

「頼りないのび太君なんて」

 あれっ、でも、『大長編ドラえもんのび太の・・・』のときは、いつものび太が、頑張るんだよ。

「太郎さんの男性像は、のび太君のまま?」

 『銀河英雄伝説』で、ジークフリード・キルヒアイスを見てから変わった。

「いつ頃のこと?」

 多分、浪人してた頃だな。

キルヒアイスを、見た後も、女の人の生き方ばかり、研究してたの?」

 私にとって、男の人の生き方、というのは、自分の分だけあればいいから、そんなに困らないんだよ。

 でも、女の人は、私の相手になる人だから、世の中には、どんな素敵な女の人がいるのだろうと、すごく興味を持つんだ。

「分かったわ。それで、上の『青春漂流』は、男の人の生き方が、書いてあるのね」

 11人の男の人、その中には、多分麻友さんも知っている、ソムリエの田崎真也も、含まれているんだけど、その人達が、どうやって、人生の中の青春期を生きたか、ということが、書いてある。

「女の私に、面白いかしら?」

 だったらね、最初から読まずに、田崎真也のところだけ、まず読んでごらんよ。

 11個のオムニバスだから、どっから読んだっていいんだ。


「私が、語彙のことを書いただけで、こんなに、援助してくれるのね」

 勇気と度胸に関しては、また日を改めて、一緒に考えよう。

 日本語の語彙に関して、私は、文学部卒ではないから、なかなか難しいけど、科学に関して麻友さんの知っている言葉を、どんどん増やしていってあげるよ。

「うれしいわ」


 今まで以上に、麻友さんの語彙にあった、授業をするように心がけることにする。

「例えば?」

 毎回、具体例を作るとかね。

「助かるわ」


 それでね、さっきの、{x^2+y^2=z^2}自然数解に関係して、{x^3+y^3=z^3} に、自然数解は存在するか? という問題が、当然考えられた。

「どうなったの?」

 3乗以上だと、自然数解はひとつもないことが、証明された。

「ひとつもないの?」

 これは、1600年代のアマチュアの数学者フェルマが予想したが、その後360年くらい証明できなくて、1995年イギリスのワイルズによって証明された事実なんだ。

自然数だけでも、ものすごい難しい問題があるのね」

 だから、かけ算を加えた自然数の体系は、不完全などということになる。

「そっかー」

「その、かけ算を加えた自然数の体系が、不完全ということの証明も、太郎さんは、見てないのよね」

 いや、その定理、正確には、ゲーデルの第一不完全性定理の証明は、チェックしたことある。

「えっ、知ってるの? 見せてくれることも、できるの?」

 ちょっと、簡単には、見せられない。

安井邦夫『現代論理学』(世界思想社

現代論理学

現代論理学

 私は、上の本で、勉強した。

 この本は、必要な数学のほとんどすべての定理に、証明がついている、素晴らしい本なんだ。


「でも、自然数に足し算とかけ算を加えた体系が、不完全なままで、おかしなことにならないの?」

 普通の人は、帳簿をつけるとか、料理のレシピにあるグラム数を計り取るとか、気温や湿度がどうとかいうくらいのことしかしなくて、さっきのフェルマの予想のような問題は、考えない。

 つまり、この式を満たす、解があるか? などということは、考えないから、そもそも問題は起こらないんだ。

「不完全ということと、矛盾するということは、別なものなのね」

 そうだよ。不完全というのは、正しいということも、正しくないということも、証明できないことが、存在することであり、一方、矛盾するというのは、あることが正しいということも証明できるし、そのあることが正しくないということも同時に証明できることだから。


「それで、最初の問題の自然数のかけ算を、どうやって定義するの?」

 かけ算はね、足し算とは比べものにならないくらい、複雑になる。

 やってみよう。



 定義 35  乗法

 {A,B} を、自然数とする。

 {B=1} のとき、

 {A \times B=A \times 1=A}

と、定める。

 次に、自然数{C} を用いて、

{B=C+1} と、表されるとき、

 {A \times B =A \times (C+1) =A \times C+A}

と、定める。

 自然数は、{1} をいくつかつなぎ合わせたものであったから、{B} は、どちらかに分類される。

 そして、{1} の個数は有限個であるから、ある回数下の場合が起こった後は、{B} は、{1} になり、{A \times B}は、ある個数、{1} の並んだものとなる。

 これを、{A,B} の積という。

 そして、積を求める算法を、かけ算、または、乗法という。

 定義 35 終わり



「わっ、難しい。どうして、自然数は、{A=1+1+1+1} とか、{B=1+1+1} なんだから、

{A \times B}
{ = 1+1+1+1}
{+1+1+1+1}
{+1+1+1+1}

より、

{A \times B =\overbrace{1+ \cdots +1}^{12}}

と、しないの?」

 この場合の、{B} 個、つまり、{3} 個縦に並べる、という概念は、今までの {1} を1列に並べるという発想では、とらえきれないんだ。

 小学校では、四角く並べたものの個数と言って通じるけど、厳格に {+} という記号だけ使うとすると、そんなことは、できない。

「でも、その新しいものを、{\times} なんだとしたら?」

 {+} の記号を定義するときは、最初だったから、自由にできた。でも、2番目の {\times} を定義するときには、今までの {+} との関係を明らかにしなくてはならない。

 しかも、ふたつの自然数から、ひとつの自然数を決める。自然数は、{1}{+} でつないだものだけだと定義してある。

「ああ、そうか。それで、あんな段階的なものにしたのか」

 そう。

 例えば、麻友さんの例なら、

{ \begin{eqnarray} A \times B &=&(1+1+1+1)\times (1+1+1)\\
&=& \{(1+1+1+1) \times (1+1) \}+(1+1+1+1)\\
&=& \{(1+1+1+1) \times (1) \}+(1+1+1+1)+(1+1+1+1)\\
&=& (1+1+1+1)+(1+1+1+1)+(1+1+1+1)
\end{eqnarray}}

というように、ひとつずつほぐしていく。

「こうすることの、メリットは、何かあるの?」

 足し算だけを使って定義してあるから、かけ算の交換法則や、かけ算の結合法則を、足し算の定義だけから証明することができる。

「ああ、なるほど」


「それで、かけ算の定義ができたところで、『安浪京子VS松田太郎』をやったら?」

 そうだったね。

 まず、割り算も定義できたとして、分数の話をしよう。

 麻友さんは、分数の約分って、得意だった?

「約分? 例えば、{\displaystyle \frac{36}{48}=\frac{3}{4}} なんていうのよね。結構得意だったわ」

 じゃあ、例えば、{\displaystyle \frac{6}{111}} なんてのは?

「えっ、これ約分できるの? ああ、{3} で、割れるのか。{\displaystyle \frac{2}{37}} なのね。やっぱり、太郎さんが出してくる問題は、手強いわね」

 この約分って、数学的には、絶対必要な操作ではないけど、計算する上で、ものすごく重要な武器なのね。

「太郎さんは、どうやって、その武器を磨いているの?」

 私ね、起きているときは、ほとんど常に、目の前にあるものが、個数が偶数か奇数か、その個数が素数でなければ、約数がいくつか、というのを、計算し続けているんだ。

「えー、それ、どれくらいの頻度で?」

 例えば、鶴見駅を降りてきたところを想像すると、

 まず、『鶴見』という駅名は、偶数の2文字。

 読み方をひらがなで書くと、『つるみ』だから、3文字。

どちらも素数

 次に、駅のそばに、『First kitchen』がある。

『First』は、5文字、『kitchen』は、7文字だから、どちらも素数

 だけど、『First kitchen』とつなげると、12文字。12の約数は、1,2,3,4,6,12。

 日本語だと、『ファーストキッチン』だから、9文字。9の約数は、1,3,9。

 歩いてくると、『大戸屋』が見える。

大戸屋』は、3文字。読み方は『おおとや』だから、4文字。4の約数は、1,2,4。

 バスのターミナルがあるが、『馬場7丁目』行きのバスなら、5文字。読み方は、『ばばななちょうめ』だから、8文字。8の約数は、1,2,4,8。

 マックがある。マックは、色々と面白い。

{\mathrm{McDonald^{\prime} s}}』となっていて、アポストロフィエスを加えないと、8文字だが、それを加えると9文字になる。

「あー、信じられない。そんなことやってたら、普通の人、気が狂うわよ」

 でも、これやってるとね、倍数や約数の勘が、ものすごく敏感になるんだよ。

「そりゃそうでしょうよ。でも、安浪京子さんだって、そんな訓練しろなんて、言えないわよ。どれくらいの大きさの数までやってあるの?」

 先日甥が来たとき、公文をやってるのを見てあげてたんだ。甥が、連立方程式のエックスに、{\displaystyle x=\frac{38}{133}} を代入しようとしてるから、『{133}{7} で割ったら?』と聞いたんだ。『えっと、{19}』って答えたまま分からないから、『{38}{2} で割ったら?』と第二ヒント。

 つまり、{19} くらいまでは、アンテナに感度ある。

 でも、これを越えると、普通、計算機使うから、必要なくなるんだよね。

「でも、そんなに約分のエキスパートになる必要あるのかしら?」

 コンピューターで計算するから、とか思うでしょ。

 だけど、数学で、ほんのちょっとこれを計算したい、ということは、いくらでもあるのね。

 例えば、

{\left\{ \begin{array}{l}35x+38y=16\\
7x+57y=11 \end{array} \right.}

という連立方程式

 誰でもやるように、第2式を5倍して、

{35x+285y=55}

 これから、第1式を引くと、

{247y=39}

 だからといって、{\displaystyle y=\frac{39}{247}} を、用いて、{x}を求めるのは、ものすごく大変。

「ああ、{\displaystyle \frac{39}{247}=\frac{3}{19}} なのね。手計算でできるはずのものを、計算機にまわすのは、本当は良くないわね」


 約分に関しては、いつもやっていれば、できるようになる、という話だけど、もうひとつの小数に関する話は、誰にでも役に立つことだ。

「小数に関して?」

 麻友さんは、多分、私がバンバン使ったから、

{10^5=100000}

などという記法は、もう慣れていることだろう。

「ああ、宇宙の年齢を求めるとき、容赦なく使ってきたものね」

 あのとき、右肩の数、これを指数というのだけど、これが {5} だったら、

{10^5=100000}

のように、{0}{5} 個並ぶというのに、気付いただろうか。

「ああ、それは、知ってるわ。だから、7だったら、

{10^7=1\underbrace{0 \cdots 0}_{7}}

と、なるのよね」

 よく分かってる。問題は、これが、マイナスになったときだ。

「太郎さん、私が、まだ勉強してないこと、使ってきたのよね。調べて、{\displaystyle 10^{-3}=\frac{1}{10^3}} のことだと分かったわ」

 さすが、特待生だよね。

 指数法則と言って、

{a^m \times a^n=a^{m+n}}

が、正の数 {a} について成り立つように、{m}{n} が、負の数のときにも拡張するんだよね。

 ところでさあ、{\displaystyle 10^{-3}=\frac{1}{10^3}} って、小数で表すと、どうなる?

「えっと、{10^3=1000} だから、千分の1。そうすると、{1.} の小数点を、1つ、2つ、3つ、ずらして、{0.001} だわ」

 うん。そうなんだけどね、実は、これをものすごく簡単にやる方法があるんだよ。

「どうすればいいの?」

 小数点の右側の {0} ばっかりが、気になるでしょ。そこに落とし穴があるんだ。

 小数点無視して、並んでいる {0} の数、数えてみてごらん。{0.001} だったら?

{3} つ。えーっ、小数点の両側の {0} の個数と一致してたの? 例えば、

{\displaystyle 10^{-6}=\frac{1}{10^6}=\frac{1}{1000000}=0.000001}

もっと前に、教えてよ。いつも、小数点ひとつずつ動かしてたんだから」

 私は、いつ気付いたんだったかなあ。高校3年のときかなあ。

 なんか、良い覚え方があるはずだと思って、編み出したんだよね。

「せっかくだから、定理にして書いておきましょう。




 定理 36

 {n} を、自然数とするとき、

{10^n=1\underbrace{0 \cdots 0}_{n}}

{10^{-n}=\underbrace{0.0 \cdots 0}_{n}1}

が、成り立つ。

 証明

 小数点を実際に動かすことで分かる。

 定理 36 証明終わり



どうかしら」

 便利という点では、一応定理だね。普通は、この程度だったら、命題くらいにするものだけどね。


「『安浪京子VS松田太郎』は、これで、終わりかしら?」

 安浪京子さんの方が、負けていることは、まずないんだけど、私なりのちょっとした技を、紹介したんだよね。

「でも、面白いものも、結構あったわ。これで終わっちゃうのが残念」

 これからも、色々話してあげるよ。


 今後の話題として、次の3つを考えている。

1.ガロア理論(『数Ⅲ方式 ガロアの理論』と『体とガロア理論』のガイドブック)

2.公理的集合論の話(『現代論理学』と『数学基礎概説』のガイドブック)

3.微分積分の話(『解析入門Ⅰ』と『解析入門Ⅱ』のガイドブック)

 本は、それぞれ、

矢ヶ部巌『数Ⅲ方式 ガロアの理論』(現代数学社

数III方式 ガロアの理論

数III方式 ガロアの理論

藤崎源二郎『体とガロア理論』(岩波基礎数学選書)

体とガロア理論 (岩波基礎数学選書)

体とガロア理論 (岩波基礎数学選書)

安井邦夫『現代論理学』(世界思想社

現代論理学

現代論理学

大芝猛『数学基礎概説』(共立出版

数学基礎概説 (共立数学講座)

数学基礎概説 (共立数学講座)

杉浦光夫『解析入門Ⅰ』(東京大学出版会

解析入門 ?(基礎数学2)

解析入門 ?(基礎数学2)

杉浦光夫『解析入門Ⅱ』(東京大学出版会

解析入門  ?(基礎数学3)

解析入門 ?(基礎数学3)




「それぞれの本を、私に、説明しながら、ガイドブックを作るのね」

 実際には、これらは、当分、完成しないと思う。

「どうして?」

 上に上げた本どれひとつとっても、読み通すのに1年以上かかる本だから。

「じゃあ、なぜ?」

 社会の役に立つことをしようと思ってね。

「読みたい人のため?」

 例えば、『解析入門Ⅰ』という本は、読みたい人かなり多いと思うんだ。

 でも、難しくて挫折してる人かなりいると思う。

 私は、ほぼ全部理解しているけど、特に、第Ⅰ章の§3までは、全部のギャップを埋めてあるんだ。

 だから、§3まで、ガイドブック作るのは、大変じゃないし、逆にそこまでアシストしてもらえれば、その調子で、全巻読めてしまうという人も、案外いるんじゃないかと思うんだ。

「他の本は?」

 ガロア理論の本は、どこを取っても難しいけど、公理的集合論に関しては、私なりの入門の仕方、というのを、見せられると思う。

 いずれにせよ、絶対最後までやろう、なんて思うと、失敗するから、行けたところまでで、めでたしめでたし、としよう。

「太郎さんは、私に説明しているけど、後で私に振られたときには、この一連の記事を、科学の啓蒙のために使おうと考えているのね」

 しまいには、麻友さんまでが、そんなこと、言い出しちゃって。

 麻友さんは、いつまでも、私の恋人ですよ。

「本当のところ、どうあって欲しいの?」

 二人で、今後どうするか、真剣に、話し合いを持ちたいね。

 結婚も、恋人も、友達も、私達が、二人で定義すべきなんだよ。

「じゃあ、また、『結婚をシミュレート』みたいなこと、やってよ」

 というより、麻友さんも、『アメリ』が終わったら、シミュレートに加わってよ。

 あっ、『アメリ』で、思い出した。チケット取れたんだよ。

「2回目? 割合早く取れたのね」

 うん。リスト入力がんばって、8500円貯めたんだ。

天王洲銀河劇場では、もう千秋楽は、埋まってたでしょう」

 埋まってた。

 でも、前橋汀子さんのチケットを過去に取った経験上、イープラスは、手数料が高い分、残っている可能性があった。

「イープラスで、検索したの?」

 S席はなかったけど、A席は、わずかに残ってた。

 迷わず購入した。

 システム利用料216円、振込手数料216円、店頭発券手数料108円が、加算されて、9040円だったけど、千秋楽取れた。

「太郎さんが、2回行かれそうな気がすると言ってたの、本当になったわね。太郎さんの勘って、やっぱり当たるのね」

 最初から最後まで、気が抜けないよ。

 私のためと思ったら、勇気も湧いてくるでしょう。

 度胸だって据わるはずだ。

 双眼鏡持って行って、じっくり見てあげるからね。

「ありがとう。思わず、涙が出てきちゃった。太郎さん、好きよ」

 私も、麻友さんが、好きだ。

 おやすみ。

「おやすみ」

 現在2018年5月6日21時48分である。おしまい。

整数環(その5)

 現在2018年4月7日15時06分である。

 麻友さん、昨日のダブミーのブログ読んだよ。

「私、忙しくて、本当に、余裕ないの」

 『アメリ』の準備で、大変なのは、分かる。

 5月から6月にかけて、渡辺麻友の名が、世の中に通るかどうかの勝負所なのは、確かだ。

 私からのオファーに、応えるかどうかは、『アメリ』が、完全に終わってから、返事をくれるので、もちろんいい。

「2カ月先まで、待ってくれる?」

 今まで、3年間待ったんだよ、2カ月くらい、どうってことないよ。

「あっ、3年前の今日ね」

 そう。私が、クロード・モネの『日傘をさす女』の前に、麻友さんを立たせて、写真を撮ったのを、ブログに張り、『ファンになった理由を書きました』と、URLをツイートしたのは、2015年4月7日21時36分。

「3年かー。そういえば、太郎さんが、冷蔵庫に2本だけ、取ってあるなんて書いたから、本当に、ワンダエクストショットなくなっちゃったわね」

 あれは、アサヒ飲料に、無理させないように、宣言したんだよね。

「無理って?」

 売れないもの、作り続けさせちゃ、悪いと思って。

「ほんと、正直っていうか、太郎さんは、自分が損させられることなんて、ないと思ってるのね」

 麻友さんの1月27日のフジテレビネクストの番組で、根本宗子(ねもと しゅうこ)さんとの対談で、

『すっごい運がいい人の役で、運が余りにも良すぎて、なんか毎回勧誘とかにあって、なんかお金とか払っちゃうけど、運がいいから絶対戻ってきて、悪いことにあったと思ってない。というような、コメディも、やってみて欲しい』

って、言われてたよね。

「太郎さん。本当に、スカパーに、お試しで入って、見てくれてたのね」

 スカパーの番組は、録画規制がかかっているから、ダビング10が、できないのね。だから、『麻友』のブルーレイ1枚にだけ、きちんと録画してある。

「私、あの取材の時、『お姫様の役ができる人少ないですから』なんて言われて、舞い上がっちゃって・・・」

 私、あの時、ふたりを見比べていて、麻友さんものすごく、手を振り回すなぁ、と気付いた。

「あっ、身振り手振りで話すってこと?」

 そう。

 実は、私も、そうなんだ。

 数学の話し始めると、手を振り回す。

 女の人と、男の人、ってことで、共通点って、なかなかなかったんだけど、やっとひとつ見つけたな。

「とんでもないこと、言い出すわね。それにしても、全部、プラスに考えるのね」


 今日は、マイナスの話。つまり、引き算の話をしようと思ってたんだけどね。

「『安浪京子VS松田太郎』の3回目ね。引き算で、どんな話ができるの?」

の本で、例えば、{8-6=} ならば、簡単だよね。

「もちろん、{8-6=2} よね」

 そう。

 これを、間違えるようじゃ、先に進めない。

 次に、{18-6=} というのは、どうだろう。

「これも、{18-6=12} となるのは、常識ね」

 うん。

 そこで、ちょっと、変化球。

 {12-7=}

というのは?

「ああ、繰り下がりの計算ね。でも、12から7を引いたら、5というのは、当たり前じゃないかしら?」

 そうか、特待生は、ここまで、常識になっているか。

 じゃあ、

 {51-3=}

としてみたら?

「段々、変化が、激しくなってくるわね。まず、51の1のくらいが、1で、3より小さいから、引けないのよね」

「こういう場合、10のくらいから、10をひとつ、借りてくるのよね。そうして、{10+1=11} から、{3} を引く」

{11-3=8} だから、1のくらいに、8がたつ。そして、10をひとつ借りてきているから、10のくらいは、4になる」

「よって、{51-3=48} となる」

 模範解答だね。

「太郎さん、これにいちゃもんつける気?」

 いちゃもんつけるつもり。

「えー、こんなのに、どうやって?」

 私が、小学校3年生の12月から、公文に通っていた、という話は、したよね。

「そうだったわね。お父様が、『たのしい算数』のクイズを続けるのが、困難になって、専門家に任せるといったのよね」

 そう。

 公文というのは、ひたすら問題を解いて、計算を空気のようにできるようになるのが、目標。

「空気のように?」

 数学の女王と、私達が呼んでいるオイラーは、

オイラーは、人が呼吸するように、またワシが風に身を任せるように、はた目には何の苦労もなく計算をした』

と言われた人で、公文もこれを、目指す。

「でも、太郎さんは、ちっとも計算が、速くならなかったのよね」

 その理由を、解明するんだ。

「理由?」

 数学の計算で、{51-3=48} のような計算をしなければならないことは、非常に多い。

 私は、公文で、このような計算をしているうちに、ある法則に気付いた。

「えっ、どんな?」

 1のくらいの1と3を見たとき、そこから8を思いつく、法則。

「全部の組み合わせ、この場合だったら、10かける10で、100通り、全部暗記したの?」

 オイラーなら、やったかも知れないけど、私は、覚えることは極力少なくが、モットーだ。

「じゃあ、どうするの?」

 51の1のくらいの1から、3を引こうとするから、難しいんだ。

 私は、3から1を引いた。

「そんなことして、意味があるの?」

 3から1を引くと、2だ。

「当たり前じゃない」

 あわてるな。この2を、10から引いてごらん。

「えっ、{10-2=8} だけど」

 その8、どこかで見なかった?

「エッ、計算結果の48の8。ウソッ、偶然よ」

 私も、最初、偶然だと思った。

 だが、公文で、引き算をするたびに、これを、試していて、1度として、失敗したことはない。

「ちょっと待って。じゃあ、

 352
- 89
____

というのは、どうやるの?」

 まず、9から2を引く。7だ。これを、10から引く。すると、3だ。だから、1のくらいは、3だ。

 352
- 89
____
   3

 次は、8から5を引きたくなるだろうが、私は、繰り上がりや繰り下がりの1は、書かない主義だった。

 2より大きな9を引いたのだから、5からひとつ10が引かれていることを思い出し、10のくらいは4から8を引く。

 さっきの法則を使い、まず、8から4を引く。4だ。これを、10から引く。すると、6だ。だから、10のくらいは、6だ。

 352
- 89
____
  63

 10のくらいの計算で、3からひとつ100が引かれていることを思い出し、100のくらいは、2だと分かる。

 352
- 89
____
 263

「うわー。何よこれ。太郎さん、こんな必殺技、使ってるの? 太郎さん、引き算、ものすごく速いんでしょ」

 小学生の、まだ引き算、習いたての子よりは、速いけど、普通の人よりのろいよ。

「どうして?」

 私、引き算するとき、上より下の方が大きいときは、必ずこの方法使うけど、使った後、本当に大丈夫かな? って、普通の人と同じように上の桁から10借りてきてという計算をしてみて、ああ合ってるな、と確認するから、逆に他の人よりのろい。

「どうして、そんな、もったいないことするの? 太郎さん、本当なら、ものすごく計算速いはずなのに」

 正確さのためだよ。

「正確さ?」

 二通りの方法で、同じ答えが出たのなら、信頼できる。

「そんな、・・・。太郎さんは、実際には、どういう風に唱えてるの?」

 声には出さないけど、

 352
- 89
____
 263

の場合だったら、

『9 2 7 3 で、3』

『8 4 4 6 で、6』

というように、口ずさんでいる。

「『9 2 7 3』というのは?」

 『9 2』と、下から、読み上げて、9から2を引く。そうすると、7だよね。

 次に、10から7を引くところを思い浮かべて、3というわけ。

 口ずさんでるとおり書くと、

『きゅう、にー、なな、さん』

と言って、3を、解答欄に書く。上の桁も同じ。

「ちょっと待って、こういう場合どうするの?

 470
-  3
____

計算できる?」

 大丈夫だよ。

『3 0 3 7』とやって、1のくらいは7。上の桁から10引くことだけ、忘れなきゃいいんだ。

「じゃあ、

 108
-  6
____

は?」

 あはは、ひっかけようというの?

 上の方が、下より大きいときは、普通に、引き算していいんだよ。

 108
-  6
____
 102

 臨機応変にね。

「ウウッ、どうして、みんな太郎さんのような方法に気付かなかったのかしら?」

 気付いてるよ。

「いつもの太郎さんの、計算の得意な数学者は気付いてた?」

 いや、そういうことじゃなくて、そろばんって、これを利用して、計算してるんだよ。

「そろばん? 太郎さん、そろばんできるの?」

 いや、できないけどね。以前、お茶の水女子大卒で、東京大学大学院の工学部の修士にいた、さっちゃんという人に、この話をしたら、その人のお母様が、そろばんで同じことやってるって、教わったんだ。

「さっちゃん? 幼稚園の時の?」

 いや、別な人だよ。

 麻友さんの精神衛生上言っておくけど、ガールフレンドじゃないからね。その人には、彼氏がいたし。

「ほんっと、太郎さんの女の人好きは、どうしようもないわねぇ。それで、いつもの流れだと、この後、集合論とか出てくるんだけど」


 麻友さんと私は、自然数というものを作って、次に整数を作ったのだった。

「『1から始める数学』の最後のところね。あそこは、きちんと、定義をしなかった」

 少し、復習しようか。

「まず、座標を使い始めたのよね」

 そう。

 じゃあ、座標の定義から始めようか。



 定義 26 座標

 {A,B} を自然数とするとき、

 {(A,B)}

のように、括弧(かっこ)でくくって、2つの自然数を書いたものを、自然数に値(あたい)をとる座標(ざひょう)という。

 {(A,B)=(C,D)}

の時には、

 {A=C かつ B=D}

が成り立っているものと、約束する。

 定義 26 終わり



「『成り立っているものと、約束する』というのは?」

 つまり、{A=C かつ B=D} の場合以外は、{(A,B)=(C,D)} と書いてはいけないということだよ。

「なんか、当たり前ね」

 当たり前と思うことは、覚えなくていい。

「次は、傾き1の直線よね」

 それを、やるためには、どうしても、自然数全部の集合を、とらえなくてはならない。

自然数全部の集合って、考えちゃいけないの?」

 いけないかどうか、というより、問題なのは、自然数全部の集まりが、集合になるかという問題なんだ。

「そりゃ、集まりなんだから、集合でしょ」

 大学へ入学したての頃は、私もそうだった。

 若々しくて、いいねぇ。

 じゃあ、とりあえず、自然数全部の集まりは、集合だ。



 公理 27

 自然数全部の集まり、

{\mathbb{N}=\{X|\forall Y(1 \in Y \wedge \forall Z(Z \in Y \Rightarrow Z+1 \in Y) \Rightarrow X \in Y) \} }

は、集合である。

 公理 27 終わり




「公理にしちゃうの?」

 だって、証明できないだろ。

「そういうものかしら?」

 私達は、とりあえず今、これが成り立っていることが、どうしても必要だが、証明はさしあたってできない、というとき、それをとりあえず、公理として取り入れ、後でそれが定理として証明できれば、その公理は、必要なかったとして、取り除くという立場を取る。

「で、なんか自然数なら、natural number で、{\mathbb{N}} っていうのも分かるけど、右辺のだらだらっというのは、何?」

 これ、自然数の集合のきちんとした表し方なんだ。

「どう読むの?」

 まず、

{\forall Y(1 \in Y \wedge \forall Z(Z \in Y \Rightarrow Z+1 \in Y) \Rightarrow X \in Y) }

を、切り出し、さらに、その括弧の中を見ると、

{1 \in Y \wedge \forall Z(Z \in Y \Rightarrow Z+1 \in Y)}

と、なっている。

{\wedge}

というのは、『かつ』という記号だ。だから、{1 \in Y} かつ {\forall Z(Z \in Y \Rightarrow Z+1 \in Y)} が、成り立つというわけだ。

「つまり、{Y} には、{1} が入っていて、全部の {Z} について、{Z \in Y} ならば、{Z+1 \in Y} が、成り立つということ」

「あっ、そうか。1が入ってて、1が入ってれば、1+1も入ってて、1+1が入ってれば、1+1+1も入ってて、というように、自然数全部が、入ってることになるのか」

 実は、細工はそれだけではない。

「他に何か?」

 {Y} についての条件は、 {\forall Z(Z \in Y \Rightarrow Z+1 \in Y)} だから、いきなり誰かが、{Y} に、{\pi} も加えろといって、加えた場合、{\{\pi ,\pi+1,\pi+2,\pi+3, \cdots \}} というのも加えると、条件を満たしてしまう。

「あっ、そんな無茶な」

 無茶でも、可能だ。

「でも、自然数に、そんなのが入ると困る」

 そこで、

{\mathbb{N}=\{X|\forall Y(1 \in Y \wedge \forall Z(Z \in Y \Rightarrow Z+1 \in Y) \Rightarrow X \in Y) \} }

では、外側に、{\forall Y (\cdots  \Rightarrow X \in Y)} というのがある。

 {\mathbb{N}} の元、{X} というのは、1を含んでいて、その中の元に1足した元を含んでいるような集合を、{Y} とするとき、すべての {Y} に含まれているような元だけである。

となる。

「つまり、全部の、{Y} の可能性の共通な部分ということかしら?」

 そういうことだね。

 集合論の、『{\forall} (エニ)』や、『{\in} (要素)』や、『{\Rightarrow} (ならば)』など、良く覚えていたね。

「太郎さん、手加減しないものね」


 さて、自然数の集合を考えることで、傾き1の直線上の点を、表したいのだった。

 麻友さんには、もうできるよ。

「じゃあ、例えば、{(3,1)}{(4,2)}{(5,3)},・・・、という線だったら」

{\{(X+2,X)|X \in \mathbb{N}\}} という感じかしら」

 素晴らしいねぇ。

「私達は、この集合を、整数の2として、扱うのよね」

 そうだ。

 一気に、定義を書くと、



 定義 28 正の整数

 {n \in \mathbb{N}} を、自然数とするとき、集合、

{\{(X+n,X)|X \in \mathbb{N}\}}

を、整数の {n} と呼び、混乱の恐れのないときは、これも、{n} と書く。

 定義 28 終わり



「一応、聞いておきたいんだけど、集合を表す、{\{\ |\cdots \} } というのは、{\cdots} の部分に条件を書いて、その条件を満たす、{X} とかなんかの集合という意味よね」

 良く分かっているね。

 条件が、具体的なときは、分かるけど、抽象的になると、分からなくなる、という声は、よく耳にする。

 例えば、

{\{x|3 \leqq x \leqq 5\} }

という集合は、3以上5以下の数の集合だ。

「それは、自然数で、考えてるの? それとも実数?」

 おー、特待生の冴え、バッチリじゃない。

 実は、上の書き方では、自然数なのか実数なのか、はたまた有理数なのか、曖昧なんだ。

 実数の場合には、正確には、

{ \{ x \in \mathbb{R} | 3 \leqq x \leqq 5 \} }

とするか、

{ \{x| x \in \mathbb{R} \wedge (3 \leqq x \leqq 5) \} }

としなければ、ならない。

「正解が、2つあったりして、いいの?」

 数学も、このレヴェルになると、正解が何通りもある、なんてのが、ざらにある。

 あまり、神経質にならないで。


「ところで、座標と言っているのに、前回のように、座標が表す平面が、出てこないわね」

 あっ、そうだね。実は、あの平面に相当するのは、座標 {(A,B)} の {A} と {B} に、自然数の全部の組み合わせを入れたものなんだ。それを、自然数全部の集合 {\mathbb{N}} の直積(ちょくせき)という。



 定義 29 {\mathbb{N}} の直積(ちょくせき)

{\mathbb{N \times N}:= \{(m,n)|m \in \mathbb{N} \wedge n \in \mathbb{N} \} }

と、定義して、左辺を、自然数 {\mathbb{N}} の直積(ちょくせき)という。{\mathbb{N}^2} とも書く。

 定義 29 終わり



 この前の写真を持ってくると、

f:id:PASTORALE:20160908001508j:plain


f:id:PASTORALE:20160909231249j:plain


f:id:PASTORALE:20160910000807j:plain


などだね。

「まだ、ゼロを定義してない」

 そうだ、そうだ。



 定義 30 整数のゼロ

 以下の集合を、整数のゼロと呼ぶ。

{0:=\{ (X,X) |X \in \mathbb{N} \}}

 定義 30 終わり



「まだ聞いてなかったと思うんだけど、{:=} というのは、左辺を右辺が表すもので定義するという記号?」

 そう。

 分かってるじゃん。

「高校までだと、これをどう表したらいいんだろう、みたいに思ってたものが、集合論の記号を使うと、少しクリアーになるわね」

 そのために、麻友さんを、公理的集合論の門くぐらせてあげた。

「じゃあ、やってみるわよ」

「負の整数の定義、



 定義 31 負の整数

 {n \in \mathbb{N}} を、自然数とするとき、集合、

{\{(X,X+n)|X \in \mathbb{N}\}}

を、整数のマイナスエヌと呼び、混乱の恐れのないときは、これを、{-n} と書く。

 定義 31 終わり



どうかしら?」

 一応、整数の定義は、できたね。

 でも、足し算ができなきゃ、何にもならない。

「あっ、そうだったわね。こんな集合を、整数にしたのは、これだと足し算の定義が、ウェルデファインドになるからだった」

 良く覚えてたね。

「これだと、足し算が、簡単なのよ。




 定義 32 整数の加法

{(X,\cdots}


 上手く書けないわ」

 うん。麻友さんの語彙では、それは、無理だね。

 あの時、言葉だけ教えた、『同値類(どうちるい)』という概念を使わないと、書けない。

 まず、自然数の直積、{\mathbb{N \times N}} のうち、例えば、{(4,2)} という座標の点は、{ \{ (3,1),(4,2),(5,3),\cdots \} } という集合に属している。そして、同時に2つのこういう集合に属していると言うことはないね。

「傾き1の直線が交わることはないから、確かにそうね」

 そういうとき、{ \{ (3,1),(4,2),(5,3),\cdots \} } のような集合のひとつひとつを、同値類と言って、{(4,2)} は、{ \{ (3,1),(4,2),(5,3),\cdots \} } の同値類に属すという。

 そして、これが重要なんだけど、{(4,2)} の属す同値類のことを、大括弧でくくって、{[(4,2)]} と、表すんだ。

「代表だけで、全体を、表しちゃうの?」

 これはねぇ、最初は、すっごく気持ち悪いと思う。

 私も、大学に入学したばかりの頃、川口周君の『代数概論』のゼミに出ていて、どうしても分からず、困っていたとき、川口君が、

{\mathbb{Z}/n \mathbb{Z}} というのは、{ \{ \overline{0},\overline{1},\overline{2},\cdots,\overline{n-1} \} } みたいなものなんですよ』

と、書いてくれて、

『ああ、代表だけ取ってきたようなものですか』

と、分かったというわけなんだ。

「太郎さんでも、分からなかったのなら、安心ね」

 これは、実際に使ってみると、納得できるんだ。

 麻友さんが、書きかけた、加法の定義を書こう。



 定義 32 整数の加法

 2つの整数、{[(A,B)]} と {[(C,D)]} に対し、それらの和を、

{[(A,B)]+[(C,D)]:=[(A+C,B+D)]}

によって、定義する。これを求める算法を、加法という。

 定義 32 終わり



「ここまでくると、何が定義なのか、分からないわ」

 {A} や、{B} に、実際に、数字を入れてみれば、いいんだよ。

{[(7,2)]+[(3,6)]=[(7+3,2+6)]} としてみたわ」

「左辺は、5と-3だわね。だとすると、足して2になればいい」

「右辺は、{[(10,8)]} だから、おっ、確かに2になってる。ウェルデファインドの霊験あらたか」

 ほらね。具体的に数字を入れると、分かるんだ。

「でも、さっきは、ひとつの代表で、計算したでしょ、他の代表だったら、同じ答えになったのかしら?」

 特待生は、そういう質問しなきゃね。

 まず、同じ集合の代表だと、どういう共通点がある?

「正の整数でも負の整数でも、座標の前と後ろに同じ数が足してあると、共通の集合のはずなのよね。例えば、



 例 ***************************

 定義 28 正の整数

 {n \in \mathbb{N}} を、自然数とするとき、集合、

{\{(X+n,X)|X \in \mathbb{N}\}}

を、整数の {n} と呼び、混乱の恐れのないときは、これも、{n} と書く。

 定義 28 終わり

 *****************************



というのでも、そうなってる」

 そうだ。

 だから、他の代表に代えると言うことは、座標の前と後ろに、同じ数を足すか、座標の前と後ろから、同じ数を引くということだ。

「そっか、そっか、他の代表に代えたとき、例えば、座標の前と後ろから、3引いたのなら、2つの整数を足した結果の座標でも、前と後ろから、3ずつ引かれてるんだ。だから、結果の数自体は、変化しないんだ」

 良く分かったね。そうなるように、うまく仕組んであったんだよ。


「今日は、引き算の話だったけど」

 最後に、整数の引き算を、定義しよう。

「もう、簡単ね」

「まず、プラス、マイナスを反転させることを、定義しなきゃね。



 定義 33 マイナス

 整数、{n=[(A,B)]} に対し、

{-n:=[(B,A)]}

によって、マイナスエヌを定義する。

 定義 33 終わり



 これで、いいわね」

 マイナス1をかけた数を、数学では『加法の逆元』という。

「かほうのぎゃくげん?」

 そう。だから、{-n} は、{n} の加法の逆元だ。

「そうすると、




 定義 34 減法

 整数 {m,n} に対し、

{m-n:=m+(-n)}

を、エム引くエヌといい、この演算を減法という。引き算ともいう。

 定義 34 終わり




 この場合も、引き算がウェルデファインドかどうか、確かめなければダメ?」

 加法の逆元が、ちゃんと定まることだけチェックすればいい。

「どうして?」

 だって、麻友さん、もうウェルデファインドであること、確かめてある、足し算使って、引き算を定義したから。

「あっ、そうか」

 小学校では、{4-8=} など、計算できない引き算もあった。

 だが、私達は、0を作るとき、同時に整数全体も作った。

 計算できないことはない。

「整数全体は、なんと表すの?」

 {\mathbb{Z}} と、表すんだけど、これは、昔、『解析入門Ⅰ』の問題解いていたとき話したように、ドイツ語のZahlen(数)から、来ている。

「あの『解析入門Ⅰ』の問題、まだ解いてないわよ」

 うん。そろそろ、麻友さんに説明できるかなあ。

「聞くところによると、ものすごい難しい問題だったそうじゃない」

 高校生には、難しいけど、数学の中で、めちゃくちゃ難しい問題ではない。

「じゃあ、そのうちやってね」

 もちろん。

「それにしても、今日の引き算は、びっくりよ」

 これも、一度書いてみたい話題だったんだ。

「『安浪京子VS松田太郎』は、まだあるの?」

 あと、もう1回、小数のかけ算をやろうと思ってる。

「今日は、長かったわね」

 3日くらい書きためたから。

「ちゃんと、寝てる?」

 薬を飲む理由が分かったから、ちゃんと飲んで寝てる。

「太郎さんと、授業の動画作るの、楽しみにしてるわよ」

 こちらこそ。

「おやすみ」

 おやすみ。

 現在2018年4月9日21時28分である。おしまい。

整数環(その4)

 現在2018年2月6日12時47分である。

 『安浪京子VS松田太郎』の2回目だよ。

「太郎さん。インスタグラム、始めたのよ」

 うん。今、ツイッター、チェックして気付いた。

「インスタグラムで、新しい記事のURLをコメントすると、他の人にもクリックされちゃうわね」

 もう、麻友さんからのクリックをカウントするのは、やめるよ。

 だって、麻友さんが、私のブログを見てるのは、ほとんど確かだもん。


「それで、小学校の計算は?」

 3桁の数の足し算に進む。

『計算の教え方』の本での話題だけど、『AKB48小学算数』から、問題を持ってこよう。

 第1番

AKB48劇場のお客さんは,おとといが248人,昨日が241人,今日が239人でした。3日間合計は何人ですか?


 麻友さんなら、どう計算する?

「まず、

  248
 +241
_____
  489

次に、

  489
 +239
_____
  728

とやって、答えのところに、728人、と、書くわ」

 合格だね。

 ただ、安浪京子さんは、下の桁から繰り上がりがあったとき、小さく1を書いて、計算すると良い、と書いている。

「あっ、それは、そうよ。私も1を書くようにしてる。パソコンだから、書けなかったの」

 そうなのか。

 私は、繰り上がりしたときは、覚えておいて、あえて1を書かないんだ。

 これには、小学校の時の授業風景が、重なる。

「どういうこと?」

 私が、小学校2年生の時、先生に当てられて、前に出て黒板でこういう計算を、書いたんだ。

 そうしたら、先生が、

『一カ所間違ってますね。繰り上がりの1が、書いてありません』

と言ったのだ。

 自分の計算に自信のあった私は、それ以来、

『絶対に1を書かないぞ』

と誓って、今日に至っている。

「あっはっは、太郎さん、根に持つタイプなのね。振ったら、一生恨まれそう(恐)」

 いや、それは、冗談じゃなく、恨むよ。

 あっ、恨むって言うか、悲しいというか、そんなこと、起こらないよね。

「どうだか。それで、太郎さんの解答は?」

 AKB48小学算数のその問題を、私は、暗算でやって、答えだけ書いている。

「そんなの模範解答じゃないわよ」

 よく、『数学のできる人の答案ほど省略が多い』、と言われるよね。

 ちょっと話は飛躍するけど、麻友さん因数分解って、得意だった?

「高校の初め頃に、出てくるのよね。公式が多いから、苦手だった」

 そうか。高校の数学で、つまずく最初の石なんだろうな。

 実は、大学受験を描いた、林真理子の『下流の宴』という小説があるんだけどね。その中に、因数分解の話が出てくるんだ。

下流の宴 (文春文庫)

下流の宴 (文春文庫)

「どんな風に、出てくるの?」

 第十章にね、


 珠緒は今、因数分解をしている。

{6x^2+11xy+4y^2}

 これはまず{y}を取り除いて考えていくのだ。

{6x^2+11x+4}」を、

{(3x+4)(2x+1)}」にし、最後に{y}をつけ加えていく。



下流の宴』単行本306ページより、数式を{\TeX}で打ったことのみ異なる。



とあるんだ。

 これ読んだとき、笑っちゃった。

「えっ、でも定石通りよ?」

 そりゃ、最初は、そう習うのかも知れないけど、すぐに、

{6x^2+11xy+4y^2=(2x+~~)(3x+~~)}

{6x^2+11xy+4y^2=(2x+y)(3x+4y)}

というように、穴埋め問題のようにして、1行で解けるじゃない。

「だって、太郎さんだって、2行、書いてるじゃない」

 私は、あらかじめ上の式のように、空白を残しておいて、暗算でそこに入るものを計算して、そこを埋めるから、計算は1行なんだよ。

「そんなの減点されない?」

 実際、減点されたことある。

 京都から戻ってきた後、東京大学受けるって言って、Z会やってたって言ったでしょう。

「3回、受験した話は、聞いたわ」

 その時、こんな因数分解の問題があった。

{2x^2-5xy-3y^2+x+11y-6=}

 解ける?

「あー、これ、一番いやなタイプだわ。こうやるのよ。

 まず、{x}でそろえるのよ。

{2x^2+x(-5y+1)-3y^2+11y-6}

 次に、{y}で、因数分解する。

{2x^2+x(-5y+1)+(-3y+2)(y-3)}

 ここからが、大変なのよ。{2x}{x}の組と、{-3y+2}{y-3}の組を、たすきがけっていうのやって、

{x~~~~~~~~~~~~~~~~-3y+2~~~~~\Rightarrow ~~~~x(-6y+4)}
   ✕             +
{2x~~~~~~~~~~~~~~~~~~~y-3~~~~~~\Rightarrow ~~~~~x(y-3)}

{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~x(-5y+1)}

と、ピタッと決めるのよ。そうすれば、

{2x^2-5xy-3y^2+x+11y-6=\{x+(-3y+2)\}\{2x+(y-3)\}}
{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=(x-3y+2)(2x+y-3)}

と、因数分解できるのよ」

 さすが、特待生だねぇ。解けるんだ。

「これは、疲れるから、余りやりたくないのよ。でも、配点が高いから、一問解くと、大きいのよね」

 Z会でさあ、この因数分解、暗算でやって、一発で答え書いたら、

『途中式を書きなさい』

って言って、5点くらい、減点された。

「暗算でできるわけないじゃないの、こんなもの! 本当は、どこかで、計算したんでしょ!」

 朝日新聞の星5つの数独くらいなら、まったく消しゴムを使わず、可能性を書き上げもせずに、1時間くらいで、きれいに解けるのと同じように、私には、因数分解できるんだ。

「どうやるのか見てるから、ちょっとやりなさいよ」

 やってみせようか。

{2x^2-5xy-3y^2+x+11y-6=}

だね。

 まず、解答欄に、括弧を2組書く。あいだは、かなり空けて。

{(~~~~~~~~~~~~~~~~~~)(~~~~~~~~~~~~~~~~~)}

 次に、2次の式の部分を因数分解する。

{2x^2-5xy-3y^2}

の部分。この部分が2通りに因数分解できるときは、後のことを良く考える。でも、ここが2通りに分かれる問題は滅多にない。

 問題文をにらみながら、

{(2x~~~~~~~~~~~~~~~~)(~~~~~~~~~~~~~~~~~~)}

と書く。

 頭を使いながら、

{(2x+y~~~~~~~~~)(x-3y~~~~~~~~~)}

と書く。

 後は、定数をどう分けるか。

 やってることは、たすきがけみたいだけど、分解するのは、ただの{-6}だから、ちょっと頭を回転させて、

{x}{11y}になるように、{-2}{3}かな?{2}{-3}かな?{1}{-6}かな?と、試して行けば、

{(2x+y-3)(x-3y+2)}

と、周りで計算しなくても、暗算で、できる。

「ウッ、本当に、暗算で、できる。信じられない。トライ式高等学院の一番優秀な先生も、こんな技、教えてくれなかった」

 それは、そうだよ。だって、横浜翠嵐高校で、この解き方したとき、京都大学の大学院の博士課程出てる数学の先生が、

『こんな解き方が、自分で思い浮かぶのか?』

と聞いてきたので、

『はい』

と言ったら、

『危険だな』

と言ってたくらいだもの。

「エッ、そんなレヴェルなの? 太郎さん、本当に、思い浮かんだの? いつなの?」

 この方法は、中学3年の時、思い浮かんだんだ。というより、実は、私は、この問題は、私がやったようにして解くものだと、思ってたんだよね。

「なんで、中学3年で?」

 私、数学を、ものすごく、自分のペースで、勉強してきたんだ。

 例えば、天体望遠鏡のレンズの倍率を知りたいから、入射光と屈折して入っていく光の角度を知りたくて、そのために光学の本を見たら、

{\displaystyle n=\frac{\sin{\theta_i}}{\sin{\theta_r}}}

みたいな式が、書いてあって、母に、

『なぜこのシンっていうのは、約分できないの?』

と聞いたけど、

『そのうち、習うわよ』

と、教えてくれなかったので、色々調べた。

 そのうち、三角関数というものだと分かったけど、例えば、60度とかじゃなくて、37度みたいな角度のサインが、どうやって求められるのか、知りたくなった。

 そんな中学3年生のある日、本屋さんで、高校1年生向けの、数学の問題集を、見つけたんだ。

 薄い問題集だったけど、高校の問題集だから、三角関数の加法定理とか、余弦定理とか、載ってるわけ。

 それを見た私は、この問題集やっていけば、37度のサインの値とか、求められるんじゃないか?と、期待したわけ。

 だから、母に頼んで、その問題集、3ランクあったんだけど、一番上のレヴェルのものを買ってもらったんだ。

「その問題集も、今でもあるの?」

 いや、さすがに、あれまではない。でも、赤いカヴァーの『特選級』とかいうレヴェルのだった。

「それで、37度のサインを、求められた?」

 原理的には、求められたんだろうけど、高校1年生で、私は、テイラー展開というものを知ってしまったので、加法定理をあえて使うことはなかったんだ。

「あれっ、中学3年生って、受験じゃなかったの?」

 私は、高校受験に関しては、ものすごく余裕があったの。だから、一応、鎌倉学園という滑り止めを受けさせてもらったのに、冬休みの頃、父が買ったNECのPC-9801VM21というパソコンと、当時はインクリボンなんてもので印刷してた熱転写プリンターを使って、『一太郎』のVer.2.1で、

『不合格通知』

なんてものを印刷して、封筒に入れていき、合格発表の日に、帰ってきて、

鎌倉学園、落ちたよ』

なんて母に言ったほどだったのだ。

「それは、悪趣味ねぇ。ドッキリなんて、あんな前からあったの?」

 ドッキリ番組なんて、ほとんど見たことないから、分からない。

 とにかく、暇だったので、高校1年の問題集で、まず『式の展開』、次に『因数分解』、と進んだ。

「解けるの?」

 問題集だから、説明はないから、解き方は、あまり分からない。

 でも、式の展開は、とにかく分配法則で、粉々にするだけだから、全部、解ける。

 因数分解は、その逆をやるだけなんだよね。

 そして、さっきの『危険だな』の問題に、出くわしたわけ。

{2x^2-5xy-3y^2+x+11y-6=}

 この順番に式が並んでるんだもの、最初の3つを因数分解するのが、道理だよ。

{2x^2-5xy-3y^2+x+11y-6=(2x+y)(x-3y)+x+11y-6}

 はて、ここからどうしたものか?

 ここで、私は、思い切って、{-6}を2つに分けて、{(2x+y)}{(x-3y)}に、それぞれかけて、うまいこと{x+11y}になるものを、見つけられることに、気付いたんだ。

「最初から、暗算で?」

 そんなことはない。初めは、いっぱい書いてた。

 ただ、特選級だから、難しいのが多くて、時間はあるからゆっくりだけど確実に解いて、いつの間にか、暗算でできるようになった。

「でも、その方法、他の人は、誰も知らないの?」

 そんなこと、あるわけないじゃん。

「えっ、知ってる人いるの?」

 計算の得意な数学者は、こうやってるはずだよ。

 だって、あのアーベルが、麻友さんみたいな、あっち行ったり、こっち行ったり、の見通しの悪い計算してたわけないじゃん。ガウスだって、オイラーだって、モチのロンだよ。

「あっ、そうか。でも、それは、やっぱり、才能なのかしら?」

 まず、計算が好きでないと、良い方法には、気付かないだろうね。

「太郎さん。計算好き?」

 興に乗って、巫女さんが神がかりの状態になったみたいになって、バーッと、ノート30ページくらい計算した後が、一番、

『生きてて良かったなあ』

と思えるほど、気持ちが良いんだよね。

 今までの人生で、10回は、ないんじゃないかなあ。そんなこと。

「太郎さんにとって、私と数学とどっちを選ぶ?となったとき、数学を選んだ方が、その後の人生幸せなんじゃないかしら?」

 麻友さん。そういう男の人の方が、いいんじゃない?

 麻友さんも、私を好きなのと同じくらい、お芝居のことが好き。

 私も、麻友さんと同じくらい、数学が好き。

 でも、お互い相手がそばにいてくれると、安心。

 それくらい、おしば・・・、思い出した!

「エッ、何? なに?」

 今日、TSUTAYAで、『アメリ』借りてきたんだよ。

「それはそうと、1月27日は、見られなかったの?」

 見られなかった、どころか、22時まで、リアルタイムで、見ましたよ。

「見てくれたんなら、伝わってるわね」

 麻友さんらしさ、というものが、さらにはっきり分かってきました。

「太郎さん、安浪京子さんじゃなくて、私と、戦ってたじゃない」

 一度、この因数分解の話を書いてみたかったんだ。

「じゃ、『アメリ』見てね。おやすみ」

 もちろん見るよ。おやすみ。

 現在2018年2月7日0時01分である。おしまい。