女の人のところへ来たドラえもん

21歳の女の人と43歳の男の人が意気投合し、社会の矛盾に科学的に挑戦していく過程です。

数Ⅲ方式ガロアの理論と現代論理学(その16)

 現在2019年1月7日18時24分である。

結弦「今年最初の連載だね」

若菜「相対性理論のブログでは、『結婚をシミュレート』、やってましたけど、確実に結婚できるんですか?」

「太郎さんのお父さまやお母さまが、私を受け入れてくれるかどうか、色々思案中なのよ」

若菜「お母さんのお父さまやお母さまは、認めて下さってるんですか?」

「それは、また別な問題ね」

 麻友さんのお父さまや、お母さまが、どう思っているのかは、まだ全然分かってないんだ。

 調べようがないからね。

「母は、このブログの存在を、知ってるの。だから、真面目に続けて」

 分かった。今日は、『現代論理学』の回だ。

 始めよう。



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 通常の文章では単文が接続詞により結合され,そこに複合文が形成されるが,それと同様に命題論理学も,命題(proposition)を考察するに際し,まず単文に相当する要素命題(elementary proposition)から出発する.そして,それを接続詞に当たる結合子(connectives)により結びつけることを考える.そこでまず,命題を構成するこれらの契機について,それを記号化することから始めよう.

 第一に,要素命題を{p_1,p_2,p_3,\cdots } 等の記号で表わす.

 次に結合子であるが,さしあたりは次の5つのものを採用する.

 1)否定(negation)の結合子 これを記号 {\sim} で表わす.{\sim A} は内容的には「{A} でない」(not {A}) という言明に対応する.

 2)連言(conjunction)の結合子 これを記号 {\wedge} で表わす。{A \wedge B} は「{A} かつ {B}」({A} and {B}) という言明に対応する.

 3)選言(disjunction)の結合子 これを記号 {\vee} で表わす。{A \vee B} は「{A} あるいは {B}」({A} or {B}) という言明に対応する.

 4)含意(implication)の結合子 これを記号 {\supset} で表わす。{A \supset B} は「{A} ならば {B}」( if {A} ,then {B}. {A} implies {B}) という言明に対応する.

 5)同値(equivalence)の結合子 これを記号 {\equiv} で表わす。{A \equiv B} は「{A}{B} とは同値である」ないしは「{A} のとき,かつ{A} のときにかぎり {B}」( {B} if and only if {A})という言明に対応する.

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 ちょっと大変だけど、肝心なところなので、一気に写した。

結弦「単文とか、複合文とか、日本語の文法ですか?」

 余り、その辺の文法にはこだわらなくていいよ。

 単文というのは、以前やった、『雪は黒い』や、『1+2が4である』みたいな、文なんだ。

 一方、複合文というのは、『1+2が4であるなら、雪は黒い』みたいに、単文がいくつか組み合わさった文だ。

「単文は、『たんぶん』、複合文は、『ふくごうぶん』で、いいのよね」

 もちろん。

若菜「数学の本では、命題というものが、頻出しますが、ここでは、『命題』という言葉の定義をしているのですか?

 命題という言葉は、それが使われる状況により、ちょっとずつ意味が変わる。でも、この本の第2章まで読み切れば、その全貌がつかめる。

若菜「第1章だけでは、駄目ですか?」

 第1章を読んだら、第2章も読みたくなる。

「要素命題を『{p_1,p_2,p_3,\cdots }等の記号で表わす』とあるけど、この小さい1、2、3が付いた記号は、なんと読むの?」

 こういう小さい数字や記号を、添え字(そえじ)と言うんだ。数学や物理学をやっていると、記号が足りなくなる。だから、添え字を付けて、いくらでも記号を作れるようにするんだ。

 さっきの例は、

『ピーいち、ピーに、ピーさん、てん、てん、てん』

と読めば、通じる。

「太郎さんの、『NKとBGの要点』のファイルによると、否定の記号は、『{\neg}』を使ってたけど、この本では、『{\sim}』となってるわ」

 そうなんだよねー。これ、数学全体で、統一されてないんだ。

{A \Rightarrow B} も、この本では、{A \supset B} に、なってるだろう。

「ああ、そうねえ」

 この本では、『{\equiv}』という記号を、最初から導入してるけど、私は、{(A \Rightarrow B )\wedge (B \Rightarrow A)}を、{A \Longleftrightarrow B}と表し、これを同じ意味で、使ってる。

若菜「何がなんだか、分からなく、なりそうですね」

 3人を混乱させてもいけないので、今後私のゼミでは、私の『NKとBGの要点』にある記号を使おう。

 そして、『NKとBGの要点』の方に、記号対照表を、作ろう。

結弦「さっきの一文を、変換すると?」


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 次に結合子であるが,さしあたりは次の5つのものを採用する.

 1)否定(negation)の結合子 これを記号 {\neg} で表わす.{\neg A} は内容的には「{A} でない」(not {A}) という言明に対応する.

 2)連言(conjunction)の結合子 これを記号 {\wedge} で表わす。{A \wedge B} は「{A} かつ {B}」({A} and {B}) という言明に対応する.

 3)選言(disjunction)の結合子 これを記号 {\vee} で表わす。{A \vee B} は「{A} あるいは {B}」({A} or {B}) という言明に対応する.

 4)含意(implication)の結合子 これを記号 {\Rightarrow} で表わす。{A \Rightarrow B} は「{A} ならば {B}」( if {A} ,then {B}. {A} implies {B}) という言明に対応する.

 5)同値(equivalence)の結合子 これを記号 {\equiv} で表わす。{A \equiv B} は「{A}{B} とは同値である」ないしは「{A} のとき,かつ{A} のときにかぎり {B}」( {B} if and only if {A})という言明に対応する.

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若菜「同値は、温存するのですね」

 あまり、記号を切り詰めると、困ることもあるんだ。同値の記号は、この本と同じものを採用する。

結弦「連言というの、辞書にないんだけど」

 連言(れんごん)じゃ、ないんだ。『れんげん』なんだ。

結弦「じゃあ、選言(せんげん)?」

 そうだよ。私も、今日まで知らなかった。

結弦「なんだ、お父さんもか」

「今日は、比較的進んだわね」

 これから、論理学の冒頭の部分を、どんどん進んで行く。数学ではないから、計算はないけど、1度認めたことは、よっぽどのことがない限り、その後も仮定されているということを、気にかけていて欲しい。

 じゃあ、解散。


「太郎さん。今年最初の連載も、始まったわね」

 7日までかかったのは、なかなか、勉強に気持ちが乗らなかったからだ。

 勉強は、してたんだけどね。

「よく眠れてる?」

 なかなか、眠れないことも、多い。

 それが、朝、起きられない原因にもなってる。

「ちゃんと、食べて、薬も飲んでね」

 ありがとう。

 それじゃ、おやすみ。

「おやすみ」

 現在2019年1月7日21時58分である。おしまい。

数Ⅲ方式ガロアの理論と現代論理学(その15)

 現在2018年12月31日19時06分である。

「太郎さん。財布にいくら入ってる?」

 えっと、2,160円。

「もーっ、それじゃ、若菜と結弦のお年玉も、あげられないじゃない」

 正直言うと、今、ほとんど、収入がないんだ。

「どうして? お父さまの本のリストは?」

 最近、私に、外で働かせようとか考えていて、リストくれないんだ。

「じゃあ、私が、ミュージカルやったら?」

 生活費を、切り詰めて、なんとか切符を買うしかない。

「太郎さんは、外で働く気は、ないの?」

 私が外で働こうという努力は、これまでも何度も試みられた。しかし、どれも、上手く行かなかったんだ。

 今、私に出来るのは、非常に突飛な思いつきだけど、あの医学機器を、本当に実現可能だと言うことを、理論的に示すことで、世界に新しい考え方を提案することなんだ。

「でも、夏遊んでた、キリギリスが、助けてくれって、来てもね」

 あっ、そんなこと、言えるのか?

 麻友さんに投じられた票は、すべて、麻友さんを応援しようという、ヲタク達の、心を込めたものだったはずだぞ。

「ああ、それを、言われると、辛いわね。でも、太郎さんは、どう見ても、キリギリスよ」

結弦「お母さん。結婚する前から、大晦日に、夫婦げんかですか?」

若菜「お父さん。なんで、こんな記事にするんですか?」

 ごめん。若菜。大晦日に、お母さんが、ブログ更新して、


去年までは、

年末年始といえば
一年で、いちばん慌ただしく
いちばん忙しい時期でしたが

今年は
それとは正反対な
時間を過ごしております。笑

と、言ってきたんだ。

 今まで、ずっと、お母さんに、こういう、のんびりした時間を、味わわせてあげたいと、思ってきたお父さんとしては、ひとつやり遂げたことが出来たんだよ。

若菜「素直に、『良かったね』って、言ってあげられないんですか?」

結弦「お父さん。僕たちに、お年玉くれられないんで、しょげてたんだな」

「まあ、いいわ。私、ガロア、少し用意してきたのよ」

 おお、じゃあ、始めてよ。


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 {2^{\circ}} 最も簡単な分解は,ガウス氏の方法によって,得られる.

 この分解は,方程式の群の形から見て明らかだから,それを説明するのは時間の浪費だ.

 ガウス氏の方法で簡単化されない方程式に対しては,どのような分解が適用されるのか?

 ガウス氏の方法で簡単化されない方程式を,僕は,原始的と呼ぶ:このような方程式は,実際に分解不可能というわけではない.累乗根で解けるものさえある.

 累乗根で解ける原始方程式の理論への準備として,1830年6月に {Bulletin\ de\ Férussac} 誌上に発表した「数論について」という論文で,虚数についての考察をしている.

 ここに同封した論文では,次の定理を証明している:

(1)原始方程式が累乗根で解けるためには,その次数は {p^{\nu}} でなければならない, {p}素数

(2)このような方程式の順列は,すべて

   {x_{k,l,m}/x_{ak+bl+cm+ \cdots +f,a_1k+b_1l+c_1m+ \cdots +g, \cdots}}

という形をしている.{k,l,m,\cdots } は,それぞれ,{p} 個の値をとる {\nu} 個の指数で,それによって,すべての根が指定される.これらの指数は法 {p} で考える,すなわち,指数に{p} の倍数を加えても,指定される根は同じだ.

 この一次形の置換を,すべて施して得られる群は,全部で {p^{\nu}(p^{\nu}-1)(p^{\nu}-p)\cdots(p^{\nu}-p^{\nu-1})} 個の順列を持つ.

 一般の場合には,このような条件を満足するからといって,その方程式が累乗根で解けるとは結論できない.

 {Bulletin\ de\ Férussac} 誌上で指摘しておいた,方程式が累乗根で解けるための条件は,あまりに強すぎる.例外がある,稀にだが.


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「どうかしら」

 分からないなりに、よく、{\TeX} 化したな。

「一カ所、気付いたのよ。

(p.8,l.7)

◯これらの指数は法 {p} で考える.

✕これらの指数は法 {p} で考える,

点と丸を、付け間違えてるわ」

 良く見つけたな。

結弦「ガロアの遺書は、7ページある。やっと2ページ進んだね」

若菜「お父さんには、どのくらい分かってるんですか? この見ているノートは、いつのものですか?」

 1999年1月30日に、この本を、全文写しし始めたものだ。

若菜「1999年ということは、京都から戻ってきて、4年半も経っていますが」

 実際は、私の記録では、1994年10月24日、1995年6月12日、1998年12月2日にも、読み始めている。

 しかし、挫折している。

若菜「1999年のノートは、最後まで続いたのですか?」

 いや、2018年4月24日に、第17章の294ページまで進んだところで、中座している。

結弦「一気に読んじゃえば良かったのに。もう半分越してるのに」

 そうだな。

 もっと頑張って、お前達に、分かり易い説明を出来るようにするか。

「太郎さん。この得体の知れない遺書を読むの、どういう姿勢で読めばいいの?」

 色んな、数学の記号や用語を、こんなものがあるんだなあと、眺めていると良い。

 先に進んだとき、昔あんなことやったなあ、と思い出すのは、楽しいものだ。

「それだけのため?」

 数学って、膨大な無駄の上に、築かれてるんだ。

 これが、役立つかなあ、と思っていたら、数学はできない。

 でも、楽しく、無駄なことをやるのなら、人間は耐えられる。

 私からのラヴレターと思って、読む、あるいは、書き取るというのなら、心が違うだろう。

 来年も続けよう。

「太郎さん。今年も終わるから、最後に言うわ。私、AKB48を卒業して、ファンも減ったわ。でも、太郎さんは、確実に、コアなファンの一人よ。来年もよろしく」

若菜「中学2年に、ガロア理論なんて、滅茶苦茶ですけど、お父さんの数学への情熱に押されて、来年も頑張ります」

結弦「平和憲法の話とか、今年、色々面白かったよ。お母さんと仲良くね」

 じゃあ、みんな元気で、解散。


「太郎さん。誠実という言葉の価値が、少し分かってきたわ。誠実に数学をやる、ということの難しさも、少し分かってきた。これは、数学という学問の入り口に立ったということなのね」

 そんな言葉を、麻友さんの口から聞けて、私は感無量だよ。

 麻友さんは、女優としても、歌手としても、もうプロだ。普通に考えれば、十分食べていかれる。

 その麻友さんが、数学なんて、普通に考えたら、必要ない。

 でも、学問には、麻薬のようなところがある。

 麻薬は、使いようによっては、大きな効果を生む。

 しかも、数学という麻薬は、違法ではない。

 きっと、麻友さんと私の大切な架け橋になってくれる。

 そして、医学機器作らなきゃね。

「じゃあ、よいお年を。おやすみ」

 よいお年を。おやすみ。

 現在2018年12月31日22時08分である。おしまい。

数Ⅲ方式ガロアの理論と現代論理学(その14)

 現在2018年12月23日18時28分である。

「クリスマスねぇ。太郎さん、ケーキ買ってくれなかったじゃない」

 だって、12月2日に、プリンパフェ買って待ってたのに、来てくれなかったのは、麻友さんの方だよ。

若菜「なんだか、映画『バック・トゥー・ザ・フューチャー』を、観ている気がします」

結弦「本当に、僕たち、生まれるかねぇ」


「私にも、好きな人が、いるの」

 浦井健冶さんかい?

「どうして、知ってるの?」

 やっぱり、そうか。

 山崎育三郎さんのライブに、麻友さんが、出る。井上芳雄さんも、山崎育三郎さんも、妻帯者だ。優等生の麻友さんが、不倫の恋に手を染めるとは思えないけどなぁ、と思っていたら、StarSのメンバーが、もう一人いる。

 それが、浦井健冶さんだ。

「全部、分かっちゃうのね」

 全部、分かるという点では、麻友さんは、私のことも、好きだということも、分かる。

「ふん。いつまでも、パソコンのキーボード、たたいてればいいわ」


結弦「お父さん。お父さん。数学やらなきゃ、駄目だよ」

若菜「恋バナじゃ、女の人には、男の人は、勝てないんだから」

 そうか、じゃあ、『現代論理学』始めよう。



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 一般に論理学の課題は,どのような「型」をもつ推論(ないしは命題*)が論理的に正しいかを定めることにあると言ってよい.そして,それを定めるのにいくつかの方法があるが,われわれは以下で,トートロジーの体系,自然推論,公理系という3つの典型的な方法をとりあげる.そこで,本節ではまず命題論理学全体の基礎となる「命題結合」の概念について考察しよう.

*後にみるように,一般には,推論を構成する諸命題を一定の仕方で結合し,推論の全体を1つの命題(論理式)としてとり扱う.


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 今日は、遅くなったので、ここまでにしよう。

「バカに、ちょっとじゃない」

 本当は、2000字くらい、書いたんだ。

 でも、麻友さんが読んで、楽しいものじゃないな、と思ったから、別なところへ移して、削除したんだ。

「読んでみたかった、気もするけど」

 前向きな話じゃなかったんだ。いつか、読みたかったら、下書きになってるから、見せてあげるよ。

若菜「お父さん、携帯の待ち受けのお母さんの写真見て、決心したんですよ」

結弦「二人が結婚できたら、この英断も、その理由のひとつだな」

「分かったわ。追求しない」

 じゃあ、解散。


「太郎さんが、自分の書いたものを、公表しないなんて、よっぽどね。私の待ち受けに、そんなに、力があるなんてね」

 何かをしてしまってから、後悔すると言うことが、麻友さんに対しては、ないんだ。

 私達は、結ばれるよ。きっと、最初は、事実婚だ。もちろん、内縁の妻ではなく、ちゃんと式は挙げるけどね。

 子供を作る余裕ができたら、法律婚をしよう。

 これが、少女マンガレヴェルの私の結婚観だ。

「良いアイディアに、たどり着いたじゃない。グライダー部にいた親友のお陰ね。私も、籍を入れることより、式を挙げる方が、立場上、意味を持つわね。いずれにせよ、もっと『結婚をシミュレート』を、やってよ」

 これ以上は、麻友さんと話さないと無理だよ。リアルに、会って欲しいな。

「近いうちに、会ってあげる。アメリだって、ニノに会えるんですものね」

 楽しみにしているよ。

「おやすみ」

 おやすみ。

 現在2018年12月23日22時21分である。おしまい。