倒せツォルンの補題（その１５） - 女の人のところへ来たドラえもん

　現在２０２４年１月４日１７時４８分である。（この投稿は、ほぼ３３５６文字）

麻友「昨日の問題、解けたの？」

私「解けたと、見込んでいる」

若菜「私達に、説明してみたら？」

私「よし、頼むぞ」

結弦「最初から、やる必要はないよ。肝心な部分だけでいい」

私「分かった。まず、

　定理　５．１の証明中に、

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　いま、

　 ${\mathscr{D}=\{D \in \mathcal{P}(a)|\exists C (C \in \mathscr{C} \wedge D=\mathrm{u.b.}(C)-C) \}}$

とおき， ${\mathit{f}}$ を ${\mathscr{D}}$ の選出写像としよう．

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という部分がある、ということだった」

麻友「 ${\mathscr{D}}$ が、可算集合なら、可算選択公理が、適用できて、選出写像を作れる。選出写像も、選出関数も、同じことよね」

私「もちろん、同じだ」

若菜「どうすれば、可算集合だと、言えるのですか？」

私「この場合の常套手段は、可算集合だと分かっている集合を持って来て、 ${\mathscr{D}}$ の元の個数は、その集合以下だと、証明するというものだ」

結弦「昨日は、鎖の始点と終点を、指定するんだと、言ってたけど、お父さん自身が、反例を持っていた」

私「鎖の全体の集合は、可算でないのかも知れない。ただ、良く本文を読むと、鎖全部の個数ほど、

　 ${\mathscr{D}=\{D \in \mathcal{P}(a)|\exists C (C \in \mathscr{C} \wedge D=\mathrm{u.b.}(C)-C) \}}$

の、 ${D}$ は、多くないことに気付いた」

結弦「数え方の問題？」

私「そう。重複して数えないように、気を付けるため、 ${\wedge D=\mathrm{u.b.}(C)-C) \}}$ の部分に注意して、鎖 ${C}$ が、１つあるたびに、１個 ${D}$ が、あると数えるのを、やめる。別な、 ${C}$ でも、同じ、 ${D}$ になることもある」

若菜「ウッ、凄い、現場中継。数学の問題が、解ける瞬間に出会える」

私「 ${\wedge D=\mathrm{u.b.}(C)-C) \}}$ で、結局、 ${C}$ の、てっぺんの元 ${\gamma}$ が、どうかだけが、 ${\mathrm{u.b.}(C)-C) \}}$ に、影響するし、 ${\mathrm{u.b.}(C)}$ は、 ${\gamma}$ の、上界集合というわけだから、 ${\gamma}$ が決まれば、全部同じだ」

麻友「時計見て！　２０２４年１月４日１８時２２分　解けたのよ」

私「そう。 ${\gamma}$ は、 ${a}$ の元だから、可算種類しかない。つまり、 ${\gamma}$ は、可算個しか有り得ない。そして、 ${\wedge D=\mathrm{u.b.}(C)-C) \}}$ の、 ${D}$ も、それより少なくなることはあれ、多くはならない。つまり、 ${\mathscr{D}}$ は、可算集合だ」

結弦「『 ${C}$ の、てっぺんの元 ${\gamma}$ が、どうかだけ』って言ってるのは、てっぺんがあると、仮定しているけど、これは、いいの？」

私「デリケートな部分があるのは、分かっていたが、証明を完成させることを優先して、突っ走った。そうだ。 ${C}$ の、てっぺんの元 ${\gamma}$ があるかどうかは、全然明らかではない。例えば、 ${C=\{x|0 \leqq x < 2\}}$ で、 ${a=\{x|-1 \leqq x < 2 \}}$ とすると、 ${a}$ の中で、 ${C}$ に、てっぺんはない。でも、この場合、 ${\mathrm{u.b.}(C)=\emptyset}$ だな。 ${\mathrm{u.b.}(C)-C \neq \emptyset}$ という条件があって、上界集合がないということは、起きないことになっている（この部分では、そう仮定して証明を進めている）。
　それから、 ${a=\{x|-1 \leqq x < 3 \}}$ とすると、 ${\mathrm{u.b.}(C)=\{x|2 \leqq x < 3 \}}$ となる。この場合、 ${C}$ にてっぺんはないが、 ${\mathrm{u.b.}(C)=\{x|2 \leqq x < 3 \}}$ には、最小元がある」

結弦「そうすると、 ${C}$ のてっぺんの元と言わず、 ${C}$ と、 ${\mathrm{u.b.}(C)}$ との、境界の点って言えば、良かったんじゃない？　境界の点と言っても、 ${a}$ の元であることに変わりないから、可算種類しかないよ」

麻友「これで、大丈夫かしら？」

若菜「そわそわ」

私「うん？」

若菜「これ、言って良いのかな？」

私「なんだ、若菜。言いたいことがあるなら、言え」

若菜「あの、デーデキントの切断って、もちろんご存じですよね」

私「知っているが」

若菜「 ${a=\mathbb{Q}}$ として、 ${C=\{x|0 \leqq x < \sqrt{2} \}}$ で、 ${\mathrm{u.b.}(C)=\{x|\sqrt{2} < x < +\infty \}}$ とすると、境界の点、 ${\sqrt{2}}$ は、 ${a}$ に、存在しないんじゃないですか？」

私「若菜、偉いよ。よくそこまで考えた」

若菜「お父さんも、気付いていたんですか？」

私「私は、そういうことは、起こらないということは、分かっていたが、どう説明したものかと、ずっと水面下で、思考を続けていたんだ」

若菜「起こらないんですか？」

私「つまり、可算個の有理数の大小を用いて、１つの無理数を、指定するということは、できないんだ。逆に、可算個の有理数を、用いて、大小関係だけで、ある無理数が、必要になる状況というものは、作れない」

結弦「聞いてりゃ、とんでもない、話し合いしてる」

麻友「指定する、とか、必要になる状況、とか、初めて聞く概念だけど」

私「今、この１時間くらいで、思い付いたことだよ」

若菜「お父さんも？」

結弦「どうやったら、そんな、とんでもないことを、スラスラと、思い付けるの？」

私「天才ほどでは、ないかも知れないのは、これが、アウトプットだけではない点だ。高校２年生から読んでいる、『数Ⅲ方式ガロアの理論』他、『体とガロア理論』、『数論』、『代数概論』、『代数的整数論』、などの本から、断片的にインプットされた知識が、体の拡大という『数Ⅲ方式ガロアの理論』の中心的テーマの周りに、集合したんだ」