現在２０２４年１月６日１２時０６分である。（この投稿は、ほぼ１０２８文字）
麻友「昨日の、『可算ツォルンの補題』の証明の最後を飾った、命題の話を、してくれるのね」
私「閃いたばかりで、薄氷を踏むような思いで、キーを打っていた」
若菜「正しいことは確信していたけど、証明が完全ではなかったのですね」
私「命題を、整理しよう。まず、 に最大元があれば、それが、境界の点だ。一方、
に最大元がなくとも、
の上界、
に、最小限、即ち、最小上界（least upper bound）が、あれば、それが、境界の点になる。困るのは、
に、最大元がなく、最小上界もない場合。つまり、
みたいに、完備でない集合が、
だった場合だ」
結弦「確かに、追い詰めているよなあ」
私「ここからでも、遠い。私達は、 が、何種類有り得るかを、数えたい。そのために、境界の点の個数で、数えようとして、失敗した」
若菜「失敗なんですか？」
私「この方法では、ダメだったんだと思う」
若菜「がっかり」
私「方法を変えよう。もし、 が、可算種類より多く存在したとしよう。背理法だ。そうすると、それぞれの、連続無限種類の、
から、ユニークにひとつずつ、点を選んでくることができて、背理法の仮定から、その点の個数は、可算無限個でなく、連続無限個あることになる。ところで、その点のひとつひとつは、可算集合の
の元だ。だから、連続無限個あるはずだという仮定に反する。よって、可算集合でないと仮定したら、矛盾したので、
は、可算種類より多くはなく、可算種類しかない」
麻友「時計見て！ ２０２４年１月６日１２時５１分」
若菜「何時頃から、こうなることに、気付いていたのですか？」
私「ほんの１０分くらい前だよ」
結弦「じゃあ、僕達、この命題の再発見の場に、居合わせたんだね」
私「もちろん」
麻友「このまま、投稿したら？」
私「じゃ、解散」
現在２０２４年１月６日１２時５７分である。おしまい。
