忘我の喜び（その２） - 女の人のところへ来たドラえもん

　現在２０２２年６月２７日２０時４５分である。（この投稿は、ほぼ４０３２文字）

麻友「最近、投稿が、途絶えがちなのは、どうしてかしら？」

私「前回の投稿で、うっかり３時３４分まで書いていた。実際には、夢中でさらに計算していて、７時になってしまい、何か食べたら、寝られるかと、バナナを食べて寝た。１１時１０分まで寝たから、それほど問題にならなかったけど、ブログで寝不足になるのは、非常に問題なんだよね。かといって、スマホでは、数式を入れにくいから、昼間外にいるとき、書くというのも、難しいし、ノートパソコンは、持ってない」

麻友「フェードアウトしているのでは、ないのね」

私「その程度の受け止め方なの？　『誰かさんみたいに、ブログの投稿が無くても、平気だよ、なんて、ひどいこというなんて』と、言い返したい気分」

麻友「えっ、何その、『平気だよ』って言うの？」

私「向田和子著の『向田邦子の恋文』の恋文の一節で、邦子が恋人を可愛くなじる一節なんだ」

向田邦子の恋文 (新潮文庫)

作者:和子, 向田
新潮社

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麻友「本当に、太郎さんて、女の人の感性を持っているところが、あるのよね」

私「こんなに、７年も、交際があって、一向に進まないのは、麻友さんに何か秘密があるのだろうか？」

麻友「太郎さんが、私にもてるはずだと、勘違いしているだけよ」

私「差し当たって、今日は、忘我の喜びまで、書けない。許して」

　と、書いて、昨日は、寝た。

　現在２０２２年６月２８日１７時３９分である。

私「今日は、暑くて寝苦しくて、４時に目が覚めた。数学の『集合と位相』をやろうとして、起き出したが、余り気乗りせず、７時にもう一度寝て、９時３０分と、１１時３分に目が覚め、起き出した。『集合と位相』のノートとテキストを持って、マックへ。１５時頃まで、気になっている、Zorn（ツォルン）の補題の証明の準備。これが、証明済みとなれば、現在９４ページ辺りで、ウロウロしているのが、１２４ページくらいまで進めることになるのだが、なかなか一気に行かない」

麻友「昨日の忘我の喜びは？」

私「そうだった。改めて、スキャン原稿を見て、

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私「４月５日から、しばらくこの本は、読んでなかった。さて、６月１７日、ポートへ行く車中で、その先を、読み始めると、いきなり、（１０）式で、躓いた。

$\pi \int_0^z \varphi(\xi) d\xi=\int_0^z\frac{f(x)}{\sqrt{z-x}}dx$ 　　　（１０）

の、式が、分からない。行きの車中で、色々考えたが分からず、章の最初から読み直そうと思ったところで、ポートに行くバスに乗った」

私「１３時２０分頃、ポートについて、お弁当を食べた後、第１５章というか第１５講を、初めからおさらい。そうしたら、（１０）式は、クリアできた」

　注　実は、このときは、早合点して、クリアした気になったが、６月２４日になって、そんなに甘い式でないことが分かり、６月２５日未明になって、再計算して、正しい答えを得た。

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　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（前回の投稿より）

　この再計算を、やろう。

　この積分公式を用いると（６）から（１０）が得られると、本文にある。積分公式とは、

${\displaystyle\int_{\xi} ^z \frac{dx}{\sqrt{(z-x)(x-\xi)}} =-\int_{\pi}^{0} d \theta =\pi }$ 　 ${(z>\xi )}$ 　　（９）

である。

　本文中に、

$\int_0^x \frac{\varphi (\xi )}{\sqrt{x-\xi}} d \xi =f(x)$ 　　（６）

（６）を解くためにこの方程式の両辺に $\frac{1}{\sqrt{z-x}}$ をかけて ${x}$ について積分する。とある。

$\frac{1}{\sqrt{z-x}}\int_0^x \frac{\varphi (\xi )}{\sqrt{x-\xi}} d \xi =\frac{1}{\sqrt{z-x}}f(x)$ 　　（６）’

と書いて、

$\int_0^z \frac{1}{\sqrt{z-x}}\int_0^x \frac{\varphi (\xi )}{\sqrt{x-\xi}} d \xi~dx = \int_0^z \frac{1}{\sqrt{z-x}}f(x)~dx$ 　　（６）’

と、言われたとおりする。

　さて、左辺の内側の積分で、動く変数は、 ${\xi}$ だけである。そこで、この中へ、 $\frac{1}{\sqrt{z-x}}$ を、移動しても、

$\int_0^z \frac{1}{\sqrt{z-x}}\int_0^x \frac{\varphi (\xi )}{\sqrt{x-\xi}} d \xi~dx$

は、変化しない。

　よって、左辺は、

${=\displaystyle \int_0^z \int_0^x \frac{1}{\sqrt{z-x}}\frac{\varphi (\xi )}{\sqrt{x-\xi}} d \xi~dx}$

としても良いはずだ。積分の上限の ${x}$ が、動くじゃないかと言うかも知れないが、３カ所ある ${x}$ は、どれも同じときに、同じ値を取っているのだから、大丈夫。

　ここまでは、正常な思考で、付いてこられる。ところで、なぜ、図５８が書いてあるかというと、この累次積分の順序の入れ替えをするからだ。

　改めて、丁寧に書いて、右辺と等しいとすると。

$\int_0^z \int_0^x \frac{\varphi (\xi )}{\sqrt{(z-x)(x-\xi)}} d \xi~dx = \int_0^z \frac{f(x)}{\sqrt{z-x}}dx$

となる。

　ここで、左辺が、

${\xi}$ について、 ${0}$ から、 ${x}$ まで、その後、 ${x}$ について、 ${0}$ から、 ${z}$ まで、

と、積分するのを、積分領域が、同じになるように、

${x}$ について、 ${\xi}$ から、 ${z}$ まで、その後、 ${\xi}$ について、 ${0}$ から、 ${z}$ まで、

と、入れ換えると、

$\int_0^z \int_0^x \frac{\varphi (\xi )}{\sqrt{(z-x)(x-\xi)}} d \xi~dx = \int_0^z \int_{\xi}^z \frac{\varphi (\xi )}{\sqrt{(z-x)(x-\xi)}} dx~d \xi$

となるのだ。ここが、じっくり鑑賞すべきところだ。

　従って、（７）式が、得られるのだが、ここも、注意を要する。上の式の右辺で、内側の積分では、動くのは、 ${x}$ だけである。だから、 ${\varphi (\xi )}$ は、内側の積分から、外に出せる。
よって、

$\int_0^z \varphi (\xi )\int_{\xi}^z \frac{1}{\sqrt{(z-x)(x-\xi)}} dx~d \xi$

と、変形でき、

$\int_0^z \varphi (\xi ) ~d \xi \int_{\xi}^z \frac{1}{\sqrt{(z-x)(x-\xi)}} dx$

が、得られる。

　ここが、じっくり鑑賞すべきところだ。と言った式の右辺に、

$\int_0^z \varphi (\xi ) ~d \xi \int_{\xi}^z \frac{1}{\sqrt{(z-x)(x-\xi)}} dx$

を、代入して、

$\int_0^z \int_0^x \frac{\varphi (\xi )}{\sqrt{(z-x)(x-\xi)}} d \xi~dx = \int_0^z \varphi (\xi ) ~d \xi \int_{\xi}^z \frac{1}{\sqrt{(z-x)(x-\xi)}} dx$ 　　（７）