忘我の喜び（その４） - 女の人のところへ来たドラえもん

　現在２０２２年７月２日１９時５２分である。（この投稿は、ほぼ３２３９文字）

麻友「もう、（その４）にまで、なってる。本当は、６月２０日のことだったんでしょ？」

私「ここまでの計算があったから、最後の一押しが、できた」

若菜「どこまで、進んでいるんでしたっけ？」

結弦「スキャン原稿を」

一般力学30講 (物理学30講シリーズ)

作者:戸田盛和
朝倉書店

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$\varphi(\xi)=\sqrt{\frac{g}{\alpha}}$ 　　（１４）

私「この、（１４）式が、懸案の式だ。（１２）は、

$\varphi(\xi)=\frac{1}{\pi} \biggl\{ \frac{f(0)}{\sqrt{\xi}}+\int_0^{\xi} \frac{f’(x)}{\sqrt{\xi-x}}dx \biggr\}$ 　　（１２）

だから、１時間くらい、計算で、アタックし続けた。丁寧に、書いてみると、 ${f(0)=0}$ だから、（１２）は、

$\varphi(\xi)=\frac{1}{\pi} \biggl\{ \int_0^{\xi} \frac{f’(x)}{\sqrt{\xi-x}}dx \biggr\}$

だけなんだ」

麻友「どうして、 ${f(0)=0}$ ？」

私「そう。気になったら、いつ聞いても良い。この場合、

$f(x)=2\sqrt{\frac{g}{\alpha}x}$ 　　（１３）

この（１３）式で、 ${x=0}$ とすると、

$f(0)=2\sqrt{\frac{g}{\alpha} \times 0}=0$

だから、 ${f(0)=0}$ と、言える。ちゃんと、根拠は持っている。根拠が怪しい場合は、麻友さんの前では、必ず、そこに問題があることを、断ることにしている」

若菜「積分記号化の微分というものを、いきなり使いましたけど」

私「あの場合、戸田盛和さんは、これを使っただろうと判断し、使用した。その定理自体を知りたかったら、『解析入門Ⅰ』第Ⅳ章　§１４　径数を含む積分　を、見て欲しい。ああ、『解析入門Ⅰ』を、説明したいなあ。あれが、分かっていれば、こんな説明、いらないのに」

麻友「いったん、多様体と幾何学のブログで、始めたのに」

私「再開しようか？」

麻友「取り敢えず、この問題を、解決しましょう」

結弦「そうすると、 $f’(x)$ が、問題なの？」

私「分母の根号の中に、 ${x}$ があるのも、問題なんだ。まず、

$f(x)=2\sqrt{\frac{g}{\alpha}x}$ 　　（１３）

より、

$f’(x)=2\sqrt{\frac{g}{\alpha}}\frac{1}{2\sqrt{x}}=\sqrt{\frac{g}{\alpha}}\frac{1}{\sqrt{x}}$

だ。（１３）式で、 ${x}$ は、ルートの中にあることに、注意」

結弦「あっ、そうか」

私「さっきの、

$\varphi(\xi)=\frac{1}{\pi} \biggl\{ \int_0^{\xi} \frac{f’(x)}{\sqrt{\xi-x}}dx \biggr\}$

から、

$\varphi(\xi)=\frac{1}{\pi} \int_0^{\xi} \sqrt{\frac{g}{\alpha}} \frac{1}{\sqrt{x}} \frac{1}{\sqrt{\xi - x}} dx ~~~~(♯)$

と、なるね」

若菜「はい」

私「最後、本文で、『（９）から』と、戸田盛和さんが、言ってるのが、良く分からない。どうも、（９）式から、お迎えに行って、 ${(♯)}$ の式の $\frac{1}{\pi}$ の、後ろの部分が、 ${\pi}$ になって、綺麗に、 ${1}$ になると、言いたかったらしいんだ。そのことには、７月２日（今日）になって気付いたんだ」