女の人のところへ来たドラえもん

２１歳の女の人と４３歳の男の人が意気投合し、社会の矛盾に科学的に挑戦していく過程です。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ブログの先頭に戻るには、表題のロゴをクリックして下さい。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　数式の変形。必ずひと言、添えてよ。それを守ってくれたら、今後も数学に付き合ってあげる。

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約束だった数学（その４）

　現在２０２２年９月２日１６時４６分である。（この投稿は、ほぼ３９５１文字）

麻友「２つの分数が、等しいということ、特に、２つの座標が、等しいということを、定義したかったのよね」

若菜「

♪　手を伸ばして、初めて、

♪　そこに、実のなる果実～

（ＡＫＢ４８の『スカート、ひらり』という歌の歌詞）

もぎ取っちゃいますよ。果実。２つの分数、

{\displaystyle \frac{16}{48}}

と、

{\displaystyle \frac{4}{12}}

が、等しいのは、

{\displaystyle 16 \times 12=192=4 \times 48}

だから。

　逆に、これが、等しくないと、

{\displaystyle \frac{16}{46}}

と、

{\displaystyle \frac{4}{12}}

は、

{\displaystyle 16 \times 12 =192}

{\displaystyle 4 \times 46 =184}

となり、

{\displaystyle 16 \times 12 \neq 4 \times 46}

一致しない」

結弦「お姉ちゃん。独占しすぎ」

私「結局、今回は、{(a,b)} という座標と、{(c,d)} という座標があるとき、

{(a,b)} ～ {(c,d)} {\stackrel{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow}} {ad=cb}

と、～（チルダー）という記号を定義して、このチルダーで、結ばれる座標を、同値だ、つまり、同じだと、見なすということだな」

若菜「そこなんですけど、同じって、言っちゃって、良いんですか？　なんか、うんと遠いところに、{ad=cb} では結べるんだけど、違う分数が、混じっちゃってるとか、そういう可能性って、ないんですか？」

私「当然の疑問だな。気持ち悪いよな。私も、大学に入って、この同値類では、随分悩まされた」

麻友「太郎さんは、どうしたの？」

私「もの凄く、抵抗した。絵を描いたり、いっぱい計算したり、色々やった。でも、最終的には、段々慣れて、当たり前になって、解決した」

結弦「だから、お父さん、昨日、『罠に落ちなかったかな？』とか言ってたのか」

私「大学１回生の、躓きの石の１つ、なんだ」

若菜「じゃあ、具体例を、やってみましょう。と、思ったんですけど、私達、分数の足し算も引き算も、掛け算も割り算も、定義していません」

私「分数の足し算と掛け算、どっちが、易しい？」

若菜「断然、掛け算ですよね。分数の足し算は、最小公倍数だの、通分したりだのと、うるさいですからね」

私「じゃあ、先に、掛け算やろう」


結弦「同値類を、使う。多分、ここで、大括弧、{[,]} の新しいバージョンが、必要になるんだと思うな」

私「結弦。鋭い。具体的な計算を、やる場合、どうしても代表を取って、計算することになる。だから、これが代表だと、表せなければ、ならない」

麻友「私の、{[(5,7)]} は、はねられた」

私「単に、同値の基準が、変わったよと、{[(5,7)]_{\sim}} というように、右下に、チルダーを付けて、書けばいいんだ」

麻友「えっ、それだけ？　私のあのときの、屈辱は・・・」

私「長生きって、してみるもんだろ。『あのときの失敗は、ただ、それだけだったのか。全然、自分が悪いわけでは、なかったんだ』、人生では、そんなこと、いくらでも、あるぞ」

麻友「私も、２８歳。段々、分かってきた。だから、やっぱり、子供は、自殺しちゃ駄目ね」

私「おお、麻友さんが、ひとつ悟りを開いたぞ」

麻友「真面目に、言ってるのよ！」

私「分かってる」


結弦「一応、定義しておこう」


　定義　同値類の代表の表し方

　～で、表される、同値類の代表は、{[(a,b)]_{\sim}} などと、表す。

　定義　終わり


結弦「そうすると、例えば、{\displaystyle \frac{5}{7} \times \frac{16}{48} = \frac{80}{336}} だから、掛け算は、{xｰ}座標同士、{yｰ}座標同士、掛け合わせたものが、代表になっている分数へ、行くとしたら良いんじゃない？」

麻友「悟りを開いている間に、現実の世界に、進展があった」


若菜「結弦の言っていることは、

{\displaystyle [(5,7)]_{\sim} \times [(16,48)]_{\sim} =[(80,336)]_{\sim}}

ということですね。でも、合ってるのかしら？」

私「疑うなら、約分してごらん」

若菜「ああ、これは、普通の分数だったんだ。

{\displaystyle \frac{5}{7} \times \frac{16}{48} = \frac{5}{7} \times \frac{1}{3} = \frac{5}{21}}

で、{\displaystyle 80} 割る、{5} は、{16} だから、{21 \times 16 =} ・・・計算機使わせて、{21 \times 16 =336} だから、計算合ってる。

{\displaystyle \frac{5}{7} \times \frac{16}{48} =\frac{80}{336}}

私「こういうように、小さいとき、最初に分数を教わったときは、もの凄く、難しいものだった。でも、２回目、３回目となると、易しくて眠くなるほどに、機械的なものになる。勉強は、若いときにしておくものだ。そうは、言うものの、新しく勉強するものの、新鮮さというものも、捨てがたい」


若菜「定義します」

　定義　有理数の掛け算の定義

{\displaystyle [(a,b)]_{\sim} \times [(c,d)]_{\sim}}

を、

{ [(ac,bd)]_{\sim}}

と、定義する。

　定義　終わり


麻友「これで、有理数の定義、それから、有理数の掛け算の定義まで、したのね」

私「それじゃ、割り算は、まだだけど、『ＡＫＢ４８中学数学』進めてみよう」

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麻友「この栞」

私「そう。妹のご主人様が、中国から買ってきてくれた、木の栞だよ」

若菜「今でも、大切に、使ってるんですね」

私「半年くらい前に、ブルバキの位相に挟んだまま、どこへ行ったか、行方不明になっていた。最近、ブルバキを開く機会があって、『なんだここにあったのか』と、写真に撮ってみた」

結弦「本来、僕達の本当のお父さんだからな」

若菜「今、一番稼いでる人ですよね」

私「４年後、どうなるんだろう」


麻友「この（１）の問題、本来、私達の掛け算は、どうするのかしら？」

若菜「{(+6) \times (+3)} ですか。お父さんの定義は、独特で、


　定義　３９　　自然数の乗法　（定義３５，３７改）

{A=1+1+1+1+1+1,B=1+1+1} とするとき、{A \times B} を次のように定義する。


{~~~~~~B~~~=~~~~~~~~~~~1~~~~~~~~~~~~~+~~~~~~~~~~~~~1~~~~~~~~~~~~~~~+~~~~~~~~~~~~~~1}

{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\downarrow ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\downarrow ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\downarrow}

{A \times B=}
{(1+1+1+1+1+1)+(1+1+1+1+1+1)+(1+1+1+1+1+1)}

　つまり、{6 \times 3} で、{6} が、{3} 個だから、{B} の３つの {1} を、{A} の {1+1+1+1+1+1} で、置き換えたんだ。

　代入したと言ってもよい。

　定義　３９　終わり


ですけど、結局、{18} が、答えで、正しいですよね」

麻友「でも、いつも、こういう第一原理に戻って、考えてはいられないわね」

若菜「もちろんですよ」

麻友「次回は、もうちょっと、変化を付けて欲しいわね」

私「考えてみる。おやすみ」

若菜・結弦「おやすみなさーい」

麻友「おやすみ」

　現在２０２２年９月２日２１時５８分である。おしまい。