解析入門Ⅰ・Ⅱ（その２） - 女の人のところへ来たドラえもん

　現在２０２３年８月２日１２時２８分である。（この投稿は、ほぼ１８１１文字）

麻友「もう、私の手を離れたのだから、自由にやって良いわよ」

私「昨日、第Ⅰ章の ${\S1-\S3}$ は、ちょっとずつ書くと言った。今日、『解析入門Ⅰ・Ⅱのノート（１～１０）』を持って来て、眺めたが、全部写す必要は、ないなと、思った。結局躓きやすい場所は、大体決まっている。私が、もの凄く書き込んでいる場所を中心に、記して行こう。まず、述語論理が現れる部分(本文p.5-6)」

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${\S1}$ 実数

　本当は、よっぽどど素人でなければ、半分くらいは、理解できるものだと思う。２００６年１月１０日から、復習を始めたときも、ほとんど問題なかった。実数 ${\mathbb{R}}$ が、足し算について、可換群になっていて、 ${\mathbb{R}-\{0\}}$ が、掛け算に関して可換群になっていて、足し算と、掛け算に関して、分配法則 ${a(b+c)=ab+ac,(a+b)c=ac+bc,}$ が成り立ち、足し算の単位元と、掛け算の単位元が、 ${1 \neq 0}$ と、異なる。これは、可換体の定義である。

　命題　１．３

　 ${m \in \mathbb{R}}$ が ${A (\subset \mathbb{R})}$ の上限となるための必要十分条件は次の１）２）である．

１）任意の ${a \in A}$ に対し ${a \leqq m.}$

２） ${x < m}$ となる任意の ${x}$ に対し, ${x < a}$ となる ${a \in A}$ が存在する．

　研究者注

　以下、下限については、同じなので、省略。

　注終わり

　証明

　現在２０２４年３月８日２１時５５分である。

私「ここまで、昨年の夏に書いてあった。『解析入門Ⅰ』と『解析入門Ⅱ』のノートを、公開すると約束していたのに、果たしていなかった。『解析入門Ⅰ・Ⅱ』は、初等的な本であるが、他の数学の本を学習するとき、分からないことを、辞書のように調べられるほど、きちんと書いてある本だ。これを、通して読んでおくのは、どの分野に進むのでも、役に立つと思う」

若菜「だから、敢えて最初から？」

私「この本に関し、『多様体と幾何学』のブログで、

manifolds.hatenablog.com

という連載がある。この場合の『解析入門Ⅰ』は、『解析入門Ⅰ・Ⅱ』のⅠだ」

結弦「お父さん。この本に拘っているんだね」

若菜「『解析入門Ⅰ（その１９）』で、最後の章の複素解析を、まず勉強したいと言ってましたが」

私「調子が乗ったら、そういう遠征もしたいと思っている」

結弦「ところで、お父さん、昨日の晩、結構眠るのに苦労したんだよね」

私「睡眠薬のフルニトラゼパムが、半分になって、大丈夫かなあという心配があった。２２時頃、麻友さんのパジャマに着替えて、布団に入った。だが、眠れない。最近、眠いのが耐えられなくなるまで、ブログを書いて、眠くてどうしようもなくなって、布団に入っているから、珍しいことだった。エアコンを入れて、数学の本を読んで、眠くなるのを待った。まず、